专题12勾股定理逆定理及其应用 知识解读 1.利用勾股定理逆定理判断判定一个三角形是直角三角形的步骤 ①首先确定最大的边（设为c）； ②验证（与是否具有相等关系，若”，那么△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若，那么△ABC不是直角三角形. 2.勾股定理与勾股定理逆定理的比较 勾股定理勾股定理的逆定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中， 在△ABC中， 结论 区别 勾般定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到“数量关系，”即由“形”到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到”形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 3.勾股数：勾股数又称勾股弦数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个整数. 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，12，15；9，40，41等，勾股数组有无数个，比如3、4、5三个整数的正整数倍都是勾股数. 熟悉常见的勾股数，有助于判断一个几何图形中有无直角三角形，为解题带来方便. 培优学案 典例示范 一、用三边关系判定直角三角形 例1若△ABC的三边a，b，c，满足a:b:c=1：1：2，试判断△ABC的形状. 【提示】虽然△ABC三边的长度未知，但可根据△ABC三边之比设出△ABC的三边长，通过计算比较是否满足勾股定理逆定理成立的条件. 【解答】 【技巧点评】①首先确定最大的边（设为c）；②验证与是否具有相等关系，若，那么△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若，那么△ABC不是直角三角形. 跟踪训练 1.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状. 二、三边长为整式，判定是否是直角三角形 例2若三角形的三边长为，，（）. 【提示】先将三角形的三边分别平方，然后观察其中两边的平方和是否等于第三边的平方，如果相等，则这个三角形就是直角三角形，反之，如果不相等，则这个三角形就不是直角三角形. 【解答】 【技巧点评】 当三角形三边长为整式时，尽管看不出哪条边是最长的边，但可以先分别求出三边的平方，然后直接观察其中两边的平方和是否等于第三边的平方，如果相等，则这个三角形就是直角三角形，反之，如果不相等，则这个三角形就不是直角三角形. 跟踪训练 2.已知三角形的三边分别为a、b、c，且，，（）. （1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？ （2）试给出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数. 三、先求三边长，再判定直角三角形 例3一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状. 【提示】本题三角形的三边长都是未知数，有三个相等关系，①三边之和为30米；②一条边的长度比较短边长7米；③比较长边短1米，根据这些信息足够求出三角形的三边长. 【解答】 【技巧点评】 当三边长未知的时候，可根据题中提供的相等关系，计算出三角形的三边长，然后再根据勾股定理的逆定理判断出是否为直角三角形。 【跟综训练】 3.已知图3-12-1中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，试判断△ABC的形状.请说明理由. 四、探究直角三角形成立的条件 例4 已知一个三角形的三边长分别为k+1，k+2，k+3，那么当k= 时，此三角形是直角三角形。 【提示】k+1，k+2，k+3中，最长的为k+3，要保证这个三角形是直角三角形，则必须保证（k+1）2+（k+2）2＝（k+3）2 【解答】 【技巧点评】要保证一个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理可知，其三边长必须满足，利用这一性质，可根据匀股定理列方程解决此类问题. 【跟综训练】 以三条长为3，4，x一5的线段为边组成直角三角形，则x的 ... ...
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