专题16 菱形的判定与性质 知识解读 菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解. 共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。 菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有三种方法 方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法3：四条边相等的四边形是菱形。 如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。 培优学案 典例示范 一、菱形四边相等为全等提供了可能 例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF. （1）求证：CE=CF； （2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB. ② 图4-16-1 【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE2A△DCF（SAS），则可得 CE=CF； （2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。 【解答】 【技巧点评】 菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起． 【跟踪训练】 1． 如图4－16－2，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（ ） A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③ 二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形 例2 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2 【提示】菱形的周长是20cm，故边长为5cm，又两条对角线的比是4：3，不妨设两条对角线长为4k，3k，因菱形的对角线互相垂直平分，同勾股定理可得（4k）2＋（3k）＝100，可求出k的值，即可求出菱形的两条对角线的长，代入菱形的面积公式，可求出菱形的面积． 【技巧点评】 菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形，在直角三角形中，应用勾股定理，是解决这个问题的基本思路，本题在计算菱形的面积的时候，应用了菱形的面积等于对角线之积的一半． 【跟踪训练】 如图4－16－3，菱形ABCD的周长为40cm，AC，BD相交于O，且BD:AC＝3：4．求AC，BD的长及菱形ABCD的面积． 【解答】 含60°角的菱形常与等边三角形结合在一起 例3 如图4－16－4，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； 【提示】（1）由于菱形ABCD的边长为2，BD＝2，所以△ABD和△BCD是等边三角形，则∠BDE＝∠BCF＝60°，BC＝BD，又由于AE＋CF＝2，AE＋ED＝2可得DE＝CF，即可证明△BDE≌△BCF；（2）由△BDE≌△BCF可证BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，由于∠CBF＋∠DBF＝60°，即可证明∠FBE＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△DEF是等边三角形． 【解答】 【技巧点评】 如果一个菱形有一个内角等于60°，那么这个菱形较短的对角线会把菱形分成两个等边三角形，此时常需要用等边三角形知识解决问题． 【跟踪训练】 如图4－16－5，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是 ． 四、菱形的判定思路，平行四边形＋ ... ...
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