第一章 几何图形初步 章前导学 现实世界中有形态各异、丰富多彩的图形.从本章开始，我们来系统学习几何图形. 本章中我们将学习立体图形和平面图形以及点、线、面、体等概念；学习利用展开图和三视图将立体图形与平面图形相互转化；进一步认识直线、射线、线段、角的概念，学习线段公理和线段中点、角平分线等概念，并运用这些概念来进行线段和角的计算. 在本章中，我们安排了四个提高的内容。 1.探求棱柱、棱锥中顶点、棱、面之间的关系，理清正方体的展开图和探求正方体相对面上的点数. 2.试着根据视图来得到几何体，并计算该几何体的体积和表面积，在只给了由小正方体搭成的几何体的俯视图和主视图（或左视图）的情况下，探求该几何体中小正方体的个数. 3.探求与直线、射线、线段有关的规律，利用线段公理来解决最短路径问题，借助方程和参数来求解较为复杂的线段的 4.用特殊度数的模板画一些角，计算钟面上时针与分针的夹角，借助方程和参数来求解较为复杂的角的计算. 专题1 立体图形与平面图形 知识解读 1.棱柱、棱锥中顶点、棱、面之间的关系 任意一个棱柱或棱锥的顶点数、棱数和面数之间存在着这样的关系：顶点数＋面数一棱数＝2. 2.面动成体 在将长方形绕其一边所在直线旋转的过程中，所绕的边不同，旋转得到的圆柱体的形状和大小都不同. 3.正方体的展开图 正方体的展开图一共有11种，其中“一·四·一型”6种，“一·三·二型”3种，“二·二·二型”和“三·三型”各1种. 4.探求正方体中相对面上的点数 通过制作模型，化抽象为具体是探求正方体中相对面上的点数的一种有效方法. 培优学案 典例示范 1.棱柱、棱锥中顶点数、棱数、面数之间的关系 例1 观察下列多面体，并把下表补充完整。 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式. 提示：先根据图形将表格填完整，再运用从特殊到一般的方法找出n棱柱的顶点个数、棱的条数和面的个数之间的关系. 【技巧点评】 结合图形，可以发现n棱柱的顶点有2n个，棱有3n条，面有（n＋2）个. 跟踪训练 1.将下面的表格填写完整，并写出a，b，c三者之间的关系式. 名称 三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 顶点数a 棱数b 面数c 2.面动成体 例2一长方形的长与宽分别是5和2，将该长方形绕它的一边所在直线旋转得到圆柱体，求这个圆柱体的表面积.（结果保留x） 提示：分两种情况：绕长所在的直线旋转和绕宽所在的直线旋转.如果绕长所在的直线旋转（如图1－1），则得到的圆柱体的底面半径是2，圆柱体的高是5. 【技巧点评】 一是要注意本题有两种情况；二是结合图形理清旋转前长方形的两条边分别成为旋转后圆柱体的什么元素. 跟踪训练 2.将一个长为40，宽为20的长方形纸片卷成一个圆柱体（接缝处忽略不计），求该圆柱体的体积.（结果保留π） 3.正方体的展开图 例3图1－2是一个正方体的纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当是（ ） 提示：展开与折叠是两个步骤相反的过程，只需验证展开图能否折成符合要求的正方体的前、后、左、右、上、下六个面. 【技巧点评】 正方体的展开图有四种类型：一·四·一型（6种），如图1－3. 一·三·二型（3种），如图1－4. 二·二·二型和三·三型（各1种），如图1－5. 再有，正方体的相对面在展开图中，一定不相邻，都是隔行或隔列的，若要在展开图中找某个面的相对面，就要从该面或上或下或左或右沿一个方向数，看是否够3个，若够3个，就从该面沿直线数第三个（即间隔一个面的）面，即为该面的相对面；若不够3个就要针对图形沿或或方向找，从该面数第个四面即是它的相对面， 跟踪训练 3. ... ...
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