二次函数综合题（10道） 1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（－1，0），B（4，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D是x轴上方抛物线上的一点，且△DAB的面积为5，求出所有满足条件的点D的坐标； （3）能否在抛物线上找点P，使∠APB=90°？若能，请直接写出所有满足条件的点P；若不能，请说明理由． 第1题图 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（－1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=－x2+x+2． （2）设点D的纵坐标为m（m＞0）， 则S△DAB=AB?m=×5m=5， ∴m=2．当y=2时，有－x2+x+2=2， 解得：x1=0，x2=3， ∴满足条件的点D的坐标为（0，2）或（3，2）． （3）假设能，当点P与点C重合时， 有AP=AC==，BP=BC==2，AB=5， ∵（）2+（2）2=25=52， 即AP2+BP2=AB2， ∴∠APB=90°， ∴假设成立，点P的坐标为（0，2）． 由对称性可知：当点P的坐标为（3，2）时，∠APB=90°． 故满足条件的点P的坐标为（0，2）或（3，2）． 第1题解图 2.如图，抛物线y=ax2+bx－经过A（－1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC的值最小时，求△ABP的面积； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第2题图 解：（1）把A（－1，0），B（5，0）代入抛物线解析式得， ，解得， ∴抛物线的解析式为y=x2－2x－； （2）∵抛物线的解析式为y=x2－2x－， ∴对称轴为直线x=－=2， 连接BC交对称轴于点P，此时点P满足使得PA+PC的值最小，如解图①， 第2题解图① 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 把B（5，0），C（0，－）代入得， ，解得， ∴直线BC的解析式为y=x－， 当x=2时，y=1－=－， ∴P（2，－），此时S△ABP=×6×=； （3）存在， 如解图②， ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，－）， ∴N1（4，－）； 第2题解图② ②当点N在x轴上方时，过点N作ND垂直x轴于点D， ∵四边形ACMN是平行四边形， ∴AN=CM，AN∥CM， ∴∠NAD=∠AMC， 在△AND和△MCO中， ， ∴△AND≌△MCO（AAS）， ∴ND=OC=，即N点的纵坐标为， ∴x2－2x－=， 解得x=2±， ∴N2（2+，），N3（2－，）， 综上，符合条件的点N的坐标为（4，－）、（2+，）或（2－，）． 3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E. （1）求抛物线的解析式； （2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于DE的一条直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 第3题图 解：（1）∵点A(－2，0)与点B关于直线x＝1对称， ∴B(4，0)， 将点A，B，C的坐标代入函数解析式， 得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4； （2）不存在点F使四边形ABFC的面积为17，理由如下： ∵B(4，0)，C(0，4)， ∴BC的解析式为y＝－x＋4， 如解图，过点F作x轴垂线，交BC于G， 设F点的坐标为(m，－m2＋m＋4)，则G(m，－m＋4)， ∴FG＝(－m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－m2＋2m， ∴S四边形ABFC＝S△ABC＋S△BCF＝AB·yC＋FG·(xB－xC)＝×6×4＋×4×(－m2＋2m)＝17， 整理得m2－4m＋5＝0， ∵b2－4ac＝16－4×1×5＝－4<0.∴方程无解，∴F点不存在； 第3题解图 （3）当x＝1时，－x2＋x＋4＝，即D(1，)． 当x＝1时，－x＋4＝3， 即E(1，3)，∴DE＝－3＝. 设Q点坐标为(m，－m2＋m＋4)，则P(m，－m＋4)． ∴|PQ|＝|(－m2＋m＋4)－(－m＋4)|＝ ... ...
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