第二课时 利用导数研究函数的最值问题 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像． 问题1：观察[a，b]上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值；极小值． 提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． 问题2：结合图像判断函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 问题3：函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值． 问题4：怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？ 提示：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值． 1．函数的最值 假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f′(x)＝0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f′(x)＝0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]的最大(小)值步骤 (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点； (2)计算函数f(x)在区间使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 1．对函数最值的两点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念． 2．函数极值与最值的关系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值． 求函数的最值 [例1] 求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值． [思路点拨] →→→→→ [精解详析] f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化状态如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 ? 4 ? 3 ? 4 ? －5 ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. [一点通] 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点． (2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值． 1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值 解析：∵f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0即3x2－3＝0 得x＝±1，而±1?(－1,1)，故f(x)在(－1,1)上无最值． 答案：C 2．函数y＝在[0,2]上的最大值为_____． 解析：∵y′＝＝， 令y′＝0，得x＝1∈[0,2]． ∵f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝. ∴f(x)max＝f(1)＝. 答案： 3．求下列函数在给定区间上的最值： (1)f(x)＝ln (1＋x)－x2，x∈[0,2]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈. 解：(1)f′(x)＝－＝. 由f′(x)＝0得x＝1，－2(舍去)． 函数f′(x)，f(x)随x的变化状态如下表： x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 ? ln 2－ ? ln 3－1 ∴f(x)max＝f(1) ... ...
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