2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？ (2)一个向量如何正交分解？ (3)向量的直角坐标定义是什么？ (4)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？ 1．两个向量的垂直与正交分解 如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直． 如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 2．向量的平面直角坐标的定义 (1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底． (2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)， 其中a1叫做向量a在 x轴上的坐标分量，a2叫做a在 y轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示 若＝xe1＋ye2＝(x，y)，则的坐标(x，y)?点A的坐标(x，y)． 4．向量的直角坐标运算 (1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(_λa1，λa2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；线段AB中点公式 [点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是( ) A．(5,3) B．(4,3) C．(8,3) D．(0，－1) 答案：C 3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( ) A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2) 答案：A 4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝_____. 答案：(－1，－4) 平面向量的坐标表示 [典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标． [解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义，得 x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，∴B. x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， ∴D. ∴＝，＝. 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标． [活学活用] 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°， (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． 解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2， y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)． (2) ＝(2，6)－(，－1)＝(，7). 平面向量的坐标运算 [典例] (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝_____，－2＝_____. (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标． [解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)， ∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)． ∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1) ＝(3＋8,15－2) ＝(11,13)． －2＝(－5，－4)－2(1,5) ＝(－5－2，－4－10) ＝(－7，－14)． [答案] (11,13) (－7，－14) (2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1 ... ...
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