7．5空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 在空间取定一个点作为原点O，过原点O作三条两两垂直的直线作为坐标轴，分别叫作x轴，y轴，z轴，在这三条轴上分别取定正方向，并选取一个长度单位作为三条坐标轴上共同使用的长度单位，这就建立了一个空间直角坐标系． 2．长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．即 |AC′|＝. 3．P(x，y，z)点到原点的距离 |OP|＝. 4．空间中两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离的公式 |PQ|＝. 1．在直角坐标平面上的动点M(x，y)到一定点C(a，b)的距离等于定长r(r＞0)，则M点的轨迹是以(a，b)为圆心，以r为半径的圆，方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.那么建立了空间直角坐标系后，动点P(x，y，z)到原点的距离为定长r，那么，点P的轨迹是什么？方程应该怎么表示？ [提示] P点的轨迹是以原点为球心，半径为r的球面，方程为x2＋y2＋z2＝r2. 2．点P在空间直角坐标系的坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，问满足条件的P点组成什么曲线？ [提示] 点P的轨迹是在xOy平面内以O为圆心，3为半径的圆． 确定空间任一点的坐标 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标． [自主解答] 建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为. 过F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝，FN＝， 故F点坐标为. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝， 故G点坐标为. 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点， 故HK＝，CK＝. ∴DK＝.故H点坐标为. 空间中点P坐标的确定方法 (1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题． 1．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是BB′，B′D′的中点，其长AB＝4，宽BC＝3，高DD′＝2.求点E，F的坐标． 解：∵点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，竖坐标为1， ∴E点坐标为(3,4,1)． ∵点F在坐标平面xDy上的射影为点G，竖坐标为2， ∴F点坐标为. 求空间两点间的距离 如图所示，在长方体OABC-O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离． [自主解答] 由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，O1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,3,2)，C1(0，3,2)． ∵E是BC的中点，∴点E的坐标为(1,3,0)， ∴由两点间的距离公式得 |B1E|＝＝. 设D(x，y,0)，在Rt△AOC中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝， ∴|OD|＝＝. 在Rt△ODA中，|OD|2＝x·|OA|，∴x＝＝， 在Rt△ODC中 ，|OD|2＝y·|OC|，∴y＝＝. ∴点D，由两点间的距离公式得 |O1D|＝ ＝ ＝. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为： 2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|. 解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)． 因为M为BC1的中点， 所以由中点公式得M，即M(2,2,2)， 又N为A1B1的中点，所以N(2,0,4)． 所以由两点间的距离公式得 |MN|＝＝2. 空间两点间距离公式的应用 在空间直角坐标系中，解答下列各题： (1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为； (2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小． [自主解答] (1)因为点P ... ...
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