6．2.2 平行关系 第一课时 直线与平面平行 1．直线与平面平行的定义 l∥α?l∩α＝?. 2．定理2 (1)一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (2)符号：l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m. 3．定理3 (1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行． (2)符号：l∥m，m?α，l?α?l∥α. 1．若直线l与平面α平行，则l与平面α内任意一条直线都平行吗？ [提示] 不是．根据线面平行的性质定理，l与过直线l的平面与α的交线平行． 2．一小木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？ [提示] 如图，过平面VAC内一点P作直线DE∥AC，交VA于D，交VC于E；过平面VBA内一点D作直线DF∥VB交AB于F，则DE，DF所确定的截面为所求． 线面平行的性质定理及应用 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG. [自主解答] ∵AC∥A1C1， 而AC?平面A1EC1， A1C1?平面A1EC1. ∴AC∥平面A1EC1. 而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC?平面AB1C， ∴AC∥FG. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系． 1．如图，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1. 求证：BB1∥EE1. 证明：∵BB1∥CC1，BB1?平面CDD1C1，CC1?平面CDD1C1， ∴BB1∥平面CDD1C1， 又BB1?平面BEE1B1， 且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1， ∴BB1∥EE1. 线面平行的判定定理及应用 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. [自主解答] 如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝. ∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ. 又∵AB＝CD，∴PM綊QN， ∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN. 又∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 利用直线和平面的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等知识得出． 2．如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE， ∵N是PC的中点， ∴NE∥CD，NE＝CD. 又∵在矩形ABCD中，M是AB的中点， ∴AM∥CD且AM＝CD. ∴NE∥AM，NE＝AM. ∴四边形AMNE是平行四边形． ∴MN∥AE. 又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 线面平行的综合应用 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点P∈BB′(不与B，B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N.求证：MN∥平面AC. [自主解答] ∵AA′綊CC′，∴四边形ACC′A′为平行四边形， ∴AC∥A′C′， 又AC?平面BA′C′，A′C′?平面BA′C′， ∴AC∥平面BA′C′. ∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于MN， ∴MN∥AC. ∵MN?平面AC，AC?平面AC，∴MN∥平面AC. 直线与平面平行判定定理与直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，可由如下示意图表示． 3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，BC＝6，与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围． 解：∵PA∥平面EFGH，PA?平面PAB，平面PAB∩平面EFGH＝EH，∴PA∥EH， 同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG， 即四边形EFGH为平行四边形． ∵EF∥BC，∴＝，∴EF＝， 又FG∥PA，∴＝＝，∴FG＝， ∴四边形EFGH的周长l＝2(EF＋FG) ＝＝ ＝＝8＋， ∵0<<1，∴8
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