浙教版八年级竞赛培优训练第21讲 一元二次方程的整数根

中小学教育资源及组卷应用平台 第21讲　一元二次方程的整数根 INCLUDEPICTURE "../能力训练.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../能力训练.EPS" \* MERGEFORMAT 【思维入门】 1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为 (　　) A．0　　　 　B．1　 　　　C．2　　　 　D．3 2．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝____． 3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为____． 4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 5．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0只有正整数根，试求非负整数a的值． 【思维拓展】 6．已知k为自然数，关于x的一元二次方程x2＋x＋10＝k(k－1)有一个正整数根，求此正整数根及k. 7．若一元二次方程ax2＋2(2a－1)x＋4(a－3)＝0至少有一个整数根，试求出有这样的正整数a的值． 【思维升华】 8．方程x2＋xy＋y2＝3(x＋y)的整数解有 (　　) A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 9．已知正整数a，b，c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为_____． 10．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝9的五个不同的整数，若b是关于x的方程＝2 009的整数根，则b的值为____． 11． 方程x2＋ax＋b＝0的两根为x1，x2，若存在实数a，b使得x＋x＝x＋x＝x1＋x2，则我们就称这样的两个根为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有____组．参考公式：a3＋b3＝ 12．先阅读材料： 若整数a是整系数方程x3＋px2＋qx＋r＝0的解，则－r＝a(a2＋pa＋q)，说明a是r的因数． 根据以上材料，可求得方程x3＋4x2－3x－2＝0的整数解为____． 13．已知a，b为正整数，关于x的方程x2－2ax＋b＝0的两个实数根为x1，x2，关于y的方程y2＋2ay＋b＝0的两个实数根为y1，y2，且满足x1·y1－x2·y2＝2 008.求b的最小值． 第21讲　一元二次方程的整数根 INCLUDEPICTURE "../能力训练.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../能力训练.EPS" \* MERGEFORMAT 【思维入门】 1．使一元二次方程x2＋3x＋m＝0有整数根的非负整数m的个数为 (　C　) A．0　　　 　B．1　 　　　C．2　　　 　D．3 2．设n是正整数，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根，则n＝__3或4__． 【解析】 一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根?(－4)2－4n≥0，则n≤4. 又∵n是正整数， ∴n＝4时，方程x2－4x＋4＝0，有整数根2； n＝3时，方程x2－4x＋3＝0，有整数根1，3； n＝2时，方程x2－4x＋2＝0，无整数根； n＝1时，方程x2－4x＋1＝0，无整数根． 所以n＝3或4. 3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有整数根，则负整数k的值为__－2__． 【解析】 根据题意得k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)＝4(2－k)≥0， 解得k≤2且k≠1，x＝. 因为原方程有整数根，则2－k＝4时，即k＝－2时，x有整数根． 4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 解：(1)Δ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不等的实根，∴20－8k>0. ∴k<. (2)∵k为正整数，∴0