浙江版八年级数学下册4.6反证法 【知识清单】 反证法:在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 【经典例题】 例题1、反证法证明题实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数. 【考点】反证法与缩放法． 【分析】此题主要考查了反证法与缩放法，解决问题的关键是“至多”、 “至少”题型的证明方法，解决本题应假设a≥0、b≥0、c≥0、d≥0，然后证明得出矛盾即可. 【解答】证明：假设a≥0、b≥0、c≥0、d≥0， ∵a+b=c+d=1， ∴1=(a+b)(c+d)． ∴1=ac+bd+bc+ad≥ac+bd． 这与ac+bd＞1矛盾． 所以假设不成立，即a，b，c，d中至少有一个负数． 【点评】此题主要考查了反证法与缩放法，解决问题的关键是“至多”、 “至少”题型的证明方法，解决问题的关键的理解“至多”、 “至少”的含义以及使用缩放法的技巧. 例题2、试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数． 【考点】一元二次方程的整数根与有理根、反证法． 【分析】先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x= 要使二次方程的为有理数根，一定存在有理数n，则有n=，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为奇数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数． 【解答】解答：证明：假设a、b、c全为奇数，△=b24ac≥0， 则有x= 要使二次方程有有理数根，一定存在为有理数n，使得n=， ∴b24ac=n2， ∴(bn)(b+n)=4ac， ∵若n为偶数，(bn)(b+n)=奇数×奇数=奇数≠4ac， ∴n只能为奇数， ∴bn为偶数，b+n也为偶数， ∴(bn)(b+n)=偶数×偶数=2a×2c， 即bn=2a，b+n=2c或bn=2c，b+n=2a 解得：b=a+c， 此时b=奇数+奇数=偶数，与原假设矛盾， ∴原假设不成立． ∴如果整系数二次方程ax2+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数． 【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法． 【夯实基础】 1、要证明命题“若a2>b2，则a>b ”是假命题，下列a、b的值不能作为反例的是 ( ) A．a=1，b=0 B．a=3，b=2 C．a=2，b=1 D．a=3，b=4 2、用反证法证明“在同一平面内，若b⊥a，a⊥c，则b∥c”，应假设( )． A．a不垂直于b B．b、c都不垂直于a C．b⊥c D．b不平行于c或b 与c相交 3、选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( ) A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45° 4、设a，b，c都是正实数，x＝a＋，y＝b＋，z＝c＋，则x，y，z三个数( ) A．至少有一个不大于2????B．都小于2? C．至少有一个不小于2????D．都大于2? 5、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设 . 6、设a1、a2、a3、a4、a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5＝1，那么这五个数中至少有一个大于或等于.用反证法证明这一结论的第一步是_____． 7、用反证法证明(填空)： 两条直线被第三条直线所截．如果内错角相等，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1=∠2． 求证：l1___l2 证明：假设l1____l2，即l1与l2交与相交于一点P． 则∠2+∠3+∠P_____180°_____ 所以∠2+∠3_____180°， ∵∠1=∠2，∠1+∠3=180°， ∴这∠2+∠3=_____，与_____矛盾，故_____不成立． 证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P． 则∠2+∠3+∠P=180°(三角形内角和定理)， 所以∠2+∠3＜180°， ∠2+ ... ...
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