考点一 圆锥曲线定义的应用 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如： (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决． (2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用． [典例1] (1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为_____． (2)若F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于_____． 解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 又离心率e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝8， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以a＝4，c＝5. 由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|， 则M在右支上， 根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8， 又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2， 而|F1F2|＝2c＝10， 则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N， 则F1N⊥MF2，且|F1N|＝＝3， 从而S△MF1F2＝×2×3＝3. 答案：(1)＋＝1 (2)3 [对点训练] 1．抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( ) A．x1，x2，x3成等差数列 B．y1，y2，y3成等差数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列 解析：选A 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义得， |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|， ∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|. 又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋， ∴2＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3， ∴选A. 2．若点M(2,1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是_____． 解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝＝， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－. 答案：8－ 考点二 圆锥曲线的性质 1.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等． 2．求离心率的值或取值范围的主要方法有： (1)定义法：利用a，b，c之间的关系以及e＝，知道a，b，c中任意两个可求e. (2)方程法：建立a与c的齐次关系式，可求离心率e. (3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． [典例2] 已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( ) A．x＝±y B．y＝±x C．x＝±y D．y＝±x 解析：选D 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上， ∴椭圆焦点(±，0)， 双曲线焦点(±，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2|n|. 又双曲线渐近线为y＝±·x， 将|m|＝2|n|代入上式，得y＝±x. [典例3] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝，求椭圆离心率e的范围． 解：△F1PF2中，∠F1PF2＝，由椭圆定义及余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|， 即4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|. 故4a2－4c2＝3|PF1||PF ... ...
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