循环小数特点和规律的初步探究

循环小数特点和规律的初步探究 洞头一中 高一（10）班 组长：朱倩沁 组员：张晓敏、童思鹏、 指导教师：叶延年 在分数中，当分母只是由素数2或5作为因数或组合而成的合数时，这个分数是可以化为一个有限小数的，如1/20，如果分数P/Q中，P和Q互质，分母是一个除2和5之外的素数，或者是一个含有除2和5之外的素数的合数时，其结果一定是循环小数，如1/6等。 循环小数，是数论研究的内容之一。然而它的枯燥无味，使得真正研究它的人相对于其他领域少了许多，而且在网上搜寻中，除了小学数学中的循环小数的问题外，也很难找到一些富有参考价值的材料。 循环小数和中，有一类分子为1，分母为一个除2和5之外的素数，如1/7，1/13，1/23，1/47…我们给它们起了个名称，叫做“简约分数”，它们是循环小数，其循环小数计算结果如下： 1/7=0.142857142857…… 1/13=0. 0769230769230…… 1/23=0. 043478260869565217391304347826…… 1/47=0.02127659574468085106382978723404255319148936170212…… 这些循环小数的第一循环节长度有长有短，各位置出现的数字变化无常。虽然如此，我们认为它们中会存在着一些规律或特点，为此我们着手进行了研究。 要研究这类循环小数，有一个前提就是要求出一系列简约分数的循环小数情况，方可供我们进一步的研究。所以我们小组的全体成员进行了分工，分别去求解1-110以内的简约分数的循环小数，每位同学分工5个。这些简约分数有的分母依次是：3、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109，共26个。 然而在计算中，我们发现，手工求解时，对第一循环节长度较短的简约分数，如1/3、1/7、1/37等，是不成问题的，但有些简约分数的第一循环节长度较短实在很长，求解起来又是费时，又容易出错，这样就对后面的研究产生了很大的影响。由于这个困难，我们几乎要选择放弃了！但指导老师对我们进行了指点，希望我们能通过手工计算循环小数的过程细节中，找到一种可在小型计算器上进行演算的算法，这对我们的研究起了明灯的作用。 通过小组几位同学的仔细研究，我们在一周之后，初步设计出了一个可行的用小型计算器求解长循环节小数的算法，得到了指导师的肯定，并由他适当修改后，变得更为简便可行。（详见中期汇报的小论文）。 即使这样，我们还是感觉在求解一些较长的循环小数是，工作量很大，这就促使我们去思考能否利用计算机编制程序的方式，来快速求解？答案是肯定的！计算机求解的程序，与手工计算的程序或小型计算器的求解程序在原理上是一致的，但我们编程序的知识却几乎是空白的。为此，我们与指导老师一起探讨，在老师的指导下，我们试用了EXCEL电子表格，但由于其中的一些函数功能不熟悉，困难很多，通过老师的指导，整整花了两周的时间，我们终于见到了梦寐以求的求解程序。应用它，只要输入一个分母，就可以立即求出他的循环小数。（详见小文章：用EXCEL电子表格求解循环小数的快速方法） 附表1是用EXCEL电子表格求解的1-110以内的简约分数的循环小数。 有了这些数据，我们的研究工作就有了起色。 首先，我们研究了简约分数循环节的位数情况，我们发现，一个简约分数分母为N，其循环节的位数最大为N-1位，如7、17、19、23、29等为分母的情况；位数如果比N-1少的，一般也是（N-1）的一个因数，而且多数是（N-1）/2，如13、31、43等为分母的情况；但也不绝对，如11为分母时，其循环节的位数为2，是11-1=10的一个因数，再如37、41等为分母时，其位数分别为3和5位。 在表中，最大的分母是109，其第一循环节的位数为108，仍然符合“循环节的位数为N-1的一个因数”的特点。 由此，我们认为： （1）简约分数1/N的循环小数第一循环节的 ... ...