【备考2019中考数学学案】专题六 函数综合探究题

专题六 函数综合探究题 类型一 与线段、周长、面积等有关的最值问题 【典例1】（2018·永州）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴交于点B、C两点，与y轴交于点E（0，3）。 求抛物线的表达式； 已知点F（0，-3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； 如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积。 【思路引导】（1）利用顶点式求抛物线表达式；（2）先求出点E关于对称轴的对称点E′的坐标，再求出E′F的直线表达式，然后求这条直线E′F与对称轴的交点坐标即可；（3）要使MN最大，即要使△ABN面积最大，过N作NH⊥x轴，交直线AB于点H.当NH最大时，△ABN面积最大，设N（t，-t2＋2t＋3），则H（t，-2t＋6），于是可求得NH最大时t的值，从而得点N坐标及直线PN的表达式，这时可求得△PON的面积. 【自主解答】 【规律方法】（1）无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”，基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”，解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，要求四边形的周长最小值，若需要三边和最小，则需过两定点（即已知定长线段的两顶点）分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上。 （2）解决三角形面积最值问题，常过动点作有关三角形的高或平行于x轴、y轴的辅助线，设关键点的坐标为（t，at2＋bt＋c），利用面积构建函数关系求解，坐标平面中的三角形的面积，常用公式“三角形的面积＝×水平宽×铅垂高”进行计算，点的坐标与线段长度的转换是几何计算的基础。 针对训练 1.（2018·东营）如图，抛物线y＝a(x-1)(x-3)（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC. （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 2.（2018·广安）如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与直线y＝x＋3相交于A，B两点，交x轴于C，D两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（-3，0）。 （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点M，使｜MB㎝D｜的值最大，并求出最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问:是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3.（2018·怀化）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点。 （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究:在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 类型二 探究特殊三角形的存在性问题 【典例2】（2018·潍坊）如图1，抛物线y1＝ax2﹛＋c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M。将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线的抛物线y2。 （1）求抛物线y2的解析式； （2）如图2，在直线上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q ... ...