2020届人教A版（文科数学） 函数的应用 单元测试

2020届人教A版（文科数学） 函数的应用 单元测试 1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是_____． 答案　∪ 解析　f(x)＝＋sin ωx－ ＝(sin ωx－cos ωx)＝sin. 因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点， 所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1. 当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点， 则ωπ－1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)． 综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)． 3．(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是_____． 答案　8 解析　由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q，且x?Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质．因此＝， 则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x?Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x?D部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x?D部分，且x＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8. 押题预测 1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 押题依据　函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案　B 解析　令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5. 2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,1) B．[0,2] C．(－2,2] D．[－1,2) 押题依据　利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案　D 解析　g(x)＝f(x)－2x＝要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)＝0恰有三个不同的实数根， 所以或 所以g(x)＝0的三个不同的实数根为x＝2(x>a)， x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)． 再借助数轴，可得－1≤a<2. 所以实数a的取值范围是[－1,2)，故选D. 3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_____m. 押题依据　函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点． 答案　20 解析　如图， 过A作AH⊥BC交BC于点H，交DE于点F， 易知＝＝＝，∴AF＝x， ∴FH＝40－x(0