2.1.1 曲线与方程的概念 学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法． 知识点 曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式． 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： ①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线． 特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程F(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏． (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质． 如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则 1．曲线l的方程是F(x，y)＝0.( × ) 2．方程F(x，y)＝0的曲线是l.( × ) 3．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．( √ ) 4．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．( × ) 题型一 曲线与方程的概念理解与应用 命题角度1 曲线与方程的判定 例1 已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( ) A．曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)＝0 B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0 答案 C 解析———不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0”是“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”的逆否命题．所以C正确． 反思感悟 解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程． 跟踪训练1 设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是( ) A．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B．曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0 C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)＝0 答案 D 解析———坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错． 命题角度2 曲线与方程的概念应用 例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k. 证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点． 因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|， 所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解． ②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解， 则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k. 而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程． 反思感悟 解决此类问题 ... ...
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