3.4基本不等式 (1)同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.4基本不等式 (1) 班级 姓名 学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习过程 一、新课导学 ※ 学习探究 探究1：基本不等式的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成如图， 新知一：一般的，如果，我们有：，当且仅当时，等号成立． 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得， 通常我们把上式写作： 新知二： 问：由不等式的性质证明基本不等？ 理解基本不等式的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右上图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 评述： 1、如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项， 那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2、在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数. 本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ※ 典型例题 例1、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? ※ 动手试试 练1、当时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？ 练2、已知，且，则当、分别取什么值时，取到最大值？最大值是多少？ 练3、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？ 二、总结提升 ※ 学习小结 1、重要不等式：已知，则（当且仅当时，等号成立） 重要变形：（当且仅当时，等号成立） 2、基本不等式：已知，则（当且仅当时，等号成立） 重要变形：， （当且仅当时，等号成立） 在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等． 课后作业 一、基础训练题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　) A．x＋ B．x2－1＋ C．2x＋2－x D．x(1－x) 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　) A．10 B．25 C．5 D．2 4．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　) A．100 B．50 C．20 D．10 5．下列结论正确的是(　　)． A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2 B．当x＞0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋最小值为2 D．当0＜x≤2时，x－无最大值 6．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是 (　　)． A．②③ B．①②③ C．③④⑤ D．③ 7．已知x≥0，则当x＝____时，x＋有最小值____． 若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最_____值，其值为_____． 某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买_____吨． 10．已知函数y＝8x2＋(x≠0)，求函数的最值，并求相应的x值． 提高训练题 11．若x＋≥a2－a对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)． A．a≤－2或a≥1 B．a≤－1或a≥2 C．－2≤a≤1 D．－1≤a≤2 12．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列 ... ...