19.3 正方形 导学案（含答案）

19. 正方形 教学目标 1．理解并掌握正方形的概念． 2．掌握正方形的性质和判定． 3．理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系． 情景问题引入 把一张长方形的纸片按如图的方式折一下，可以截出正方形纸片，这是为什么呢？如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的正方形木板呢？ [学生用书P114] 1．正方形的性质 性　　质：(1)正方形__四条边__都相等； (2)正方形__四个角__都是直角； (3)正方形的对角线__相等且互相垂直平分__． 注　　意：正方形是中心对称图形，对称中心是__两条对角线的交点__，也是轴对称图形，它有__4__条对称轴． 2．正方形的判定方法 定理1：有一个角是__直角__的菱形是正方形． 定理2：有一组邻边__相等__的矩形是正方形． [学生用书P114] 类型之一　正方形的性质 　如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有(　C　) A．4个　　B．6个　　C．8个　　D．10个 【点悟】 本题考查了等腰三角形的概念以及正方形的性质：四边相等，对角线相等且互相垂直平分． 类型之二　正方形的判定 　如图，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD，交AD于点F，EG⊥DC，交DC于点G.求证：四边形EFDG是正方形． 证明：∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EG⊥CD，∴EF＝EG，∴∠EFD＝∠EGD＝90°. 又∵∠ADC＝90°， ∴四边形EFDG是矩形． ∵EF＝EG，∴四边形EFDG是正方形． 【点悟】 本题考查正方形的判定和角平分线的性质．要注意证明一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形是菱形或矩形． 类型之三　正方形的性质与判定的综合运用 　[2008春·秀山县期末]E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论． 解：四边形EFMN是正方形． 证明：∵AE＝BF＝CM＝DN， ∴AN＝DM＝CF＝BE. ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE， ∴EF＝EN＝NM＝MF， ∴四边形EFMN是菱形． 又∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN＋∠DNM＝90°， ∴∠ENA＋∠DNM＝90°， ∴∠ENM＝90°， ∴四边形EFMN是正方形． 【点悟】 (1)在正方形中，常利用边角关系证明线段相等；(2)熟练掌握菱形与正方形之间的变化条件与方法． [学生用书P114] 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　A　) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 2．[2017·十堰]下列命题错误的是(　C　) A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 3．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　B　) A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连结EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为__5__． [学生用书P115] 1．在四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是(　D　) A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD 2．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，DE≠EB，则图中的全等三角形的对数共有(　C　) A．1对　　B．2对　　C．3对　　D．4对 第2题图 　　　第3题图 3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE，交CD于点F，则∠AFC的度数是(　D　) A．150° B．125° C．135° D．112.5° 4．[2017·黄冈]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED的度数为__45°__． 5．[2017·兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交 ... ...