3.2 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 利用导数研究函数的单调性 1.求解不等式 2.研究函数的单调性 2017江苏,20 利用导数研究函数的单调性 函数的极值 ★★★ 2017江苏,11 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值和最值 1.研究函数的极值 2.研究函数的最值 2018江苏,11 函数的最大值、最小值 函数的单调性 ★★★ 2015江苏,19 函数零点的应用 利用导数研究函数的单调性 分析解读 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值是江苏高考的必考内容,一般出现在压轴题位置,有时直接考查单调性和极值,有时结合恒成立(存在性)问题,函数零点(方程的根)问题综合考查,重点考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程思想,对逻辑推理能力要求比较高. 破考点 【考点集训】 考点一 利用导数研究函数的单调性 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 .? 答案 (2,+∞) 2.(2019届江苏扬州中学检测)已知函数f(x)=x-1-(e-1)ln x,其中e为自然对数的底数,则满足f(ex)<0的x的取值范围为 .? 答案 (0,1) 3.(2019届江苏沭阳高级中学检测)设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .? 答案 1
0,则f(x)的极小值为 .? 答案 k(1-lnk)2 3.(2019届江苏吕四中学检测)已知函数f(x)=ln x-mx(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m= .? 答案 -3e 炼技法 【方法集训】 方法一 根据函数单调性求参数的方法 1.(2019届江苏汇龙中学检测)若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为 .? 答案 -∞,52 2.(2019届江苏启东检测)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是 .? 答案 34,+∞ 方法二 求函数f(x)极值的方法 1.已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为 .? 答案 18 2.(2018江苏通州高级中学检测)已知函数f(x)=-x3+x2,x<1,alnx,x≥1,求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值点和极大值点. 解析 当x<1时, f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 令f '(x)=0,解得x=0或x=23. 当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 0,23 23 23,1 f '(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故函数f(x)的极小值点为x=0,极大值点为x=23. 方法三 求函数f(x)在[a,b]上的最大值、最小值的方法 (2019届江苏平潮高级中学检测)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 解析 (1)f '(x)=1x-a(x>0). ①当a≤0时, f '(x)=1x-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当a>0时,令f '(x)=1x-a=0,可得x=1a, 当00; 当x>1a时, f '(x)=1?axx<0,故函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+∞. (2)①当0<1a≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a. ②当1a≥2,即0