专题十九 数学归纳法及其应用 挖命题 【真题典例】 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 数学归纳法及其应用 1.数学归纳法的原理 2.数学归纳法的简单应用 2015江苏,23 数学归纳法的应用 集合中的计数问题 ★★★ 2014江苏,23 数学归纳法的应用 导数的应用 分析解读 数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题,是江苏卷附加题考查的重点.通常与数列、不等式、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力,近五年的试卷中考查的频率不高. 破考点 【考点集训】 考点 数学归纳法及其应用 1.求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*). 证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=21·1=2,∴等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1). 当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)(2k+2) =2·(k+1)(k+2)(k+3)·…·(k+k)·(2k+1) =2·2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1) =2k+1·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1). 这就是说当n=k+1时,等式成立. 根据(1)(2)知,对n∈N*原等式成立. 2.在数列{bn}中,b1=2,bn+1=3bn+42bn+3(n∈N*).求b2,b3,试判定bn与2的大小,并加以证明. 解析 由b1=2,bn+1=3bn+42bn+3,得 b2=3×2+42×2+3=107,b3=5841. 经比较有b1>2,b2>2,b3>2. 猜想bn>2(n∈N*). 下面利用数学归纳法证明. (1)当n=1时,因为b1=2,所以2
0. 当n=k+1时,bk+1-2=3bk+42bk+3-2 =(3-22)bk+4?322bk+3=(3-22)(bk-2)2bk+3>0, ∴bk+1>2,也就是说,当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)(2),知bn>2(n∈N*). 3.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当n∈N*时,an+2=an+1+an.求证:数列{an}的第4m+1项(m∈N*)能被3整除. 证明 (1)当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3. 即当m=1时,第4m+1项能被3整除.故命题成立. (2)假设当m=k(k∈N*)时,a4k+1能被3整除,则当m=k+1时, a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2 =2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1. 显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除. ∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除. 即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立. 由(1)和(2)知,对于n∈N*,数列{an}中的第4m+1项能被3整除. 4.在各项为正的数列{an}中,数列的前n项和Sn满足Sn=12an+1an. (1)求a1,a2,a3; (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想. 解析 (1)由S1=a1=12a1+1a1,得a12=1. ∵an>0,∴a1=1,由S2=a1+a2=12a2+1a2, 得a22+2a2-1=0,∴a2=2-1(舍负). 又由S3=a1+a2+a3=12a3+1a3,得a32+22a3-1=0,∴a3=3-2(舍负). (2)猜想an=n-n-1(n∈N*). 证明:①当n=1时,a1=1=1-0,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=k-k-1, 则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=12ak+1+1ak+1-12ak+1ak, 即ak+1=12ak+1+1ak+1-12k-k-1+1k-k-1 =12ak+1+1ak+1-k, ∴ak+12+2kak+1-1=0,∴ak+1=k+1-k. 即n=k+1时猜想成立. 由①②知,an=n-n-1(n∈N*). 炼技法 【方法集训】 方法 数学归纳法 1.(2019届江苏宿迁中学月考)已知数列{an}满足a1=23,an+1·(1+an)=1. (1)试计算a2,a3,a4,a5的值; (2)猜想|an+1-an|与11525n-1(其中n∈N*)的大小关系,并证明你的猜想. 解析 (1)由已知计算得a2=35,a3=58,a4=813,a5=1321. (2)由(1)得|a2-a1|=115,|a3-a2|=140,|a4-a3|=1104,|a5-a4|=1273.又n分别取1,2,3,4时,11525n-1分别为115,275,4375,81 875,故猜想|an+1-an|≤11525n-1. 下面用数学归纳法证明猜想: ①当n=1时,猜想成立. ②当n=k(k∈N*)时,假设|ak+1-ak|≤11525k-1. 由a1=23,an+1=11+an,得an>0. 所以0