1回归分析 回归分析 1．线性回归方程 设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程为y＝a＋bx. 则lxx＝(xi－)2＝－n2， lxy＝(xi－)(yi－)＝iyi－n ， lyy＝(yi－)2＝－n2， b＝＝＝， a＝－b. 2．相关系数 计算 r＝＝ ＝ 性 质 范围 r∈[－1,1] 线性 相关 程度 (1)|r|越大，线性相关程度越高； (2)|r|越接近于0，线性相关程度越低； (3)当r＞0时，两个变量正相关； (4)当r＜0时，两个变量负相关； (5)当r＝0时，两个变量线性不相关 1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 2．回归直线y＝a＋bx过点(，)，其中＝i，＝i. 3．相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；相关系数越接近于0，相关性越弱． 线性回归方程 [例1] 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若y对x呈线性相关关系． (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据最小二乘法求出线性回归方程； (3)预测使用年限为10年时，维修费用是多少． [思路点拨] 先利用散点图分析设备使用年限与所支出的维修费用是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解． [精解详析] (1)作出散点图如图所示． (2)由表知，＝＝4， ＝＝5， iyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7＝112.3， ＝22＋32＋42＋52＋62＝90， 所以b＝＝＝1.23， a＝－b＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08. (3)根据(2)中的线性回归方程，可预测使用年限为10年时，维修费用约为y＝1.23×10＋0.08＝12.38万元． [一点通] 求回归直线方程的基本步骤： 1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( ) A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4 C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4 解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)代入A，B得A正确． 2．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_____万元． 解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元． 答案：0.254 3．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据 x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． 解：(1)散点图如图： (2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ＝＝9，＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344. b＝＝＝0.7，a＝－＝4－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为y＝0.7x－2.3. (3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4. 相关系数 [例2] 关于两个变量x和y的7组数据如下表所示： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 试判断x与y之间是否有线性相关关系． [思路点拨] 首先求出r的值，再判断相关关系． [精解详析] ＝×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4， ＝×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3， ＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414， iyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542， ＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393， ∴r＝ ＝ ≈0.837 5. 由于r≈0.837 5与1比较接近， ∴x与y具有线性相关关系． [一点通] 回归分析是 ... ...
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