第十章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(全国卷5年4考) 【知识梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正 向与直线l_____之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴_____时,规定它的倾斜角为0(或 0°). 向上方向 平行或重合 (2)范围:直线l倾斜角α的取值范围是 _____. 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的_____叫做这条直线 的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=_____,倾斜角 是90°的直线斜率不存在.? [0,π)(或{α|0°≤α<180°}) 正切值 tanα (2)斜率公式 ①直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k=_____.? ②P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率 k=_____. tanα 3.直线方程的五种形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b Ax+By+C=0, A2+B2≠0 名称 方程 适用范围 点斜式 _____ 不含直线x=x0 斜截式 _____ 不含垂直于x轴的直线 两点式 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2) 截距式 =1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 _____ _____ 平面内所有直线都适用 【常用结论】 1.直线倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角,但不一定都有斜率. (2)不是倾斜角越大,斜率k就越大,因为k=tanα,当 α∈ 时,α越大,斜率k就越大,同样α∈ 时也 是如此,但当α∈[0,π)且α≠ 时就不是了. 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 3.直线方程的应用 设直线方程时,只有在斜率存在时才可设成点斜式或斜截式,否则要根据斜率是否存在分两种情况讨论. 当直线的斜率可能不存在,但一定不为0时,直线方程可设为x=ay+m,a∈R.x=ay+m适用于除垂直于y轴以外的所有直线. 【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( ) (2)斜率公式k= ,不适用于垂直于x轴和平行于 x轴的直线. ( ) (3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在. ( ) (4)过点P(x1,y1)的直线方程一定可设为y-y1=k(x-x1). ( ) (5)直线方程的截距式 =1中,a,b均应大于0. ( ) 【解析】(1)×.例如,倾斜角从60°增大到90°,再增大到120°时,斜率先是正的,然后是负的,所以斜率越来越大是错误的. (2)×.此斜率公式适用于平行于x轴的直线. (3)√.当直线的斜率不存在时,其倾斜角为90°. (4)×.斜率不存在时,不可设为点斜式. (5)×.截距式中a,b也可以为负值. 2.若直线l :(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点_____.? 【解析】直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,由 解得x=2,y=-2,所以直线l恒过定点(2,-2). 答案:(2,-2) 3.过点A(1,2)且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为 _____.? 【解析】直线x-2y+3=0的斜率为 ,所以由垂直关系 可得要求直线的斜率为-2,所以所求直线方程为 y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0 题组二:走进教材 1.(必修2P95练习T2改编)直线l:xsin 30°+ycos 150° +a=0的斜率为 ( ) B. C.- D.- 【解析】选A.设直线l的斜率为k, 则k=- 2.(必修2P96例4改编)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为 ( ) A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0 C.2x+y-8=0 D.2x-y+8=0 【解析】选C.由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直 线的方程为 整理得2x+y-8=0. 考点一 直线的倾斜角与斜率 【题组练透】 1.直线x+ y+1=0的倾斜角是 ( ) 【解析】选D.由直线的方程得直线的斜率为k=- , 设倾斜角为α,则tan α=- ,所以α= . 2.直线(1-a2)x+y+1=0的倾斜角θ的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.直线的斜率k=-(1-a2)=a2-1,因为a2≥0, 所以k=a2- ... ...
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