【提高】向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0(时投影为；当=180(时投影为. 要点二：平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以。 要点三：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量. 1. 2. 3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或 4. 5. 要点四：向量数量积的运算律 1.交换律： 2.数乘结合律： 3.分配律： 要点诠释： 1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是； 2.在实数中，有(a(b)c=a(b(c)，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 要点五：向量数量积的坐标表示 1.已知两个非零向量，， 2.设，则或 3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式). 要点六：向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件 (3)求夹角问题，利用 (4)求线段的长度，可以利用或 【典型例题】 类型一：平面向量数量积的运算 例1． （1）已知||=4，||=5，向量与的夹角为，求①·；②(+)2；③2―2；④(2+3)·(3―2)； （2）若向量++=0，且||=3，||=1，||=4，求·+·+·的值。 【思路点拨】（1）(+)2=，(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2 把模和数量积代入可得。（2）(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和数量积代入可得。 【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13 【解析】 （1）①。 ②(+)2=||2+2·+||2=61。 ③2―2=||2―||2=－9。 ④(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2=―4。 （2）∵(++)2=2+2+2+2(·+·+·)， ∴。 【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用2=||2。 （2）在解题中，利用了(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)这一关系式，类似于实数的运算。 举一反三： 【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·. 【答案】35 【解析】 原式= = =35 例2．（1）若||=4，·=6，求在方向上的投影； （2）已知||=6，为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出在方向上的正投影，并画图说明。 【答案】（1）（2）略 【解析】 （1）∵·=|| ||cos=6，又||=4， ∴4||cos=6，∴。 （2）在方向上的投影为||·cos。 如上图所示，当=60°时，在方向上的正投 ... ...
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