[基础题组练] 1．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为( ) A．± B．±或± C．± D．± 解析：选B.由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得，(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，解得k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±. 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，所以e＝＝＞＝. 3．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y2＝2px(p＞0)于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则， 由①－②得y－y＝2p(x1－x2)，即＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝＝2，所以p＝y1＋y2＝2. 4．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是( ) A. B. C. D. 解析：选A.由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，所以线段MN的中点为P.由题意知，kOP＝，所以＝.故选A. 5．若直线y＝x＋b和曲线4x2－y2＝36有两个不同的交点，则b的取值范围是_____． 解析：联立直线方程和曲线方程，消去y得，－x2－5bx－b2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b2－9(b2＋36)>0，解得b<－或b>. 答案：∪ 6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝_____． 解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，， 所以·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－. 答案：－ 7．已知点Q是抛物线C1：y2＝2px(p>0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB的长． 解：由Q(1，－6)在抛物线y2＝2px上，可得p＝18， 所以抛物线C1的方程为y2＝36x. 设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k(x－1)． 联立消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0， Δ＝k2－8k－48. 由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝0， 解得k＝－4或k＝12. 由得A； 由得B. 所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2. 8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点(0，1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积． 解：(1)依题意可得解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)由题意得直线l的方程为y＝x＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得3x2－2x－5＝0. 由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝× ＝. 原点O到直线l的距离d＝＝， 所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝. 即△OAB的面积为. [综合题组练] 1．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点．若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析：选B.将x＝c代入－＝1，得y＝±，则|AB|＝.将x＝c代入y＝±x，得y＝±，则|CD|＝.因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b2≥c2，所以a2＝c2－b2≤c2，所以e2≥.因为e>1，所以e≥.故选B. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且 ... ...
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