函数与方程 【考纲要求】 1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解． 3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。 【知识网络】 【考点梳理】 1．函数零点的理解 （1）函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点． ②若函数在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点． ③若函数在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，则是在区间（a，b）内有零点的充分不必要条件． 要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题 （1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根． （2）求曲线与的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求的根． 要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题 （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程的根，可以构造函数），函数的零点即为方程的根． 【典型例题】 类型一、判断函数零点的位置 例1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B. 答案：B 点评：求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点. 举一反三： 【变式】已知函数，当时，函数的零点,则 ．. 解：用数形结合法 作出 及的图象， 作出 及 由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故． 类型二、确定函数零点的个数 例2.二次函数中，，则函数的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.无法确定 解法1： ∴方程有两个不相等的实数根 ∴函数有两个零点，选B. 解法2： ， 不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B. 点评：可以利用函数图象或方程的判别式. 举一反三： 【变式】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4] 解析：本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图： 显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，有交点，故选A. 答案：A 例3.（2017 安徽三模）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 答案：D 【解析】当时，，当时，，为奇函数 时，画出和的图像如图所示： 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，，，，，则 ，，而即 即 所以，故选D. 举一反三： 【变式1】（2017 河东区一模）函数在定义域内零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：C 【解析】由题意，函数的定义域为； 求函数在定义域内零点的个数等价于求函数和函数的图像在上的交点个数，在同一个坐标系下画出两个函数的图像如下： 由图得，两个函数图像有两个交点，故对应函数有两个零点.故选C. 【变式2】已知函数，.若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。 解析：方法一：（）的图象是圆心为，半径的半圆， 、的图象如下： 设圆心到直线距离为, 则直线与圆相切时，，解得， 由上图知：当时，二者相交于两个公 ... ...
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