导数的综合应用 【考纲要求】 1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数； 2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性； 3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值； 4．提高应用知识解决实际问题的能力。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、求切线方程的一般方法 （1）求出函数在处的导数； （2）利用直线的点斜式得切线方程。 要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 考点二、判定函数的单调性 （1）函数的单调性与其导数的关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。 要点诠释：①在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。 ②学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。 ③要关注导函数图象与原函数图象间关系。 （2）利用导数判断函数单调性的基本步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数； ③在定义域内解不等式； ④确定f(x)的单调区间。 要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。 考点三、函数的极值 （1）极值的概念 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， ①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。 极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。 要点诠释： ①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。 ②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 ③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。 ④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 ⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。 ⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。 （2）求极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法) 要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的 ... ...
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