三角函数的最值与综合应用 【考纲要求】 1、能求三角函数的值域与最值； 2、能利用三角函数的图象与性质解题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、三角函数的最值 求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法： 涉及正、余弦函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理. 型，经过降次、整理， 得到，其中，再利用有界性处理. 形如或的函数求最值时都可以通过适当变换，通过配方来求解. 形如，在关系式中时，可考虑换元法处理，如令，则，把三角问题化归为代数问题解决. 形如型的函数的最值，可考虑数形结合（常用到直线斜率的几何意义）. 形如型或能确定所给函数在某些区间上单调，可考虑利用单调性求解. 要点诠释： 三角函数的最值问题，其本质是对含有三角函数的符合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用．当然也要掌握上述的特殊的方法. 考点二、(,)的性质 1. 定义域: ,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 3. 奇偶性:时为偶函数；时为奇函数，. 4．单调性:单调增区间:[] , 单调减区间:[] , 5. 对称性:对称中心(,0)， ；对称轴x= ， 6．最值: 当即时，y取最大值A 当即时，y取最小值-A．(). 要点诠释： 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性. 考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题 三角函数的知识产生于测量、航海和天文学，还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题，要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念；对几何问题，特别是立体几何中的问题，要依据题意，画出示意图或立体直观图，将问题归结到三角形中去处理.一般情况下，只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解决问题，对于一些较为复杂的应用题则需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外，有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程，使对数值的处理更为方便. 【典型例题】 类型一：三角函数的最值 例1．已知，若且，求的取值范围. 【思路点拨】在定义域的范围内求的值域，再利用集合之间的关系求的范围. 【解析】 因为，所以 所以 又因为，所以 于是 解得 【总结升华】求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理. 本题是通过二倍角降次，整理成型. 举一反三： 【变式1】函数有最大值2，最小值-1，则实数= ，= . 【答案】 【解析】 （其中） 当时，有，即， 当时，有，即， 解得。 【变式2】已知函数. （1）若，求函数的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）， . （2）， ， 函数的值域为. 【变式3】已知函数。 （1）求的值；（2）求的最大值和最小值。 【答案】； 例2．求函数的最大值. 【思路点拨】转化为形式，再利用辅助角公式求值域；注意到，从而确定函数的最大值. 【解析】解法一：将原函数变形得 得（其中由决定）， ，应用，解得。 又，则，故欲求函数的最大值为。 解法二：设则原函数变成，得 利用判别式即又 解得，故的最大值为。 此时，即 解法三：由解法二，设则 即 易知函数在区间为减函数，在上为增函数，故的最小值为。 的最大值为，此时，即。 解法四：的值可看作是过点和两点的直线的斜率，点A在半圆上运动，作图可知的范围是所以的最大值为。 【总结升华】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域. 举一反三： 【变式1】对于函数，下列结论 ... ...
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