` 动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间． 已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点的坐标为，点是直线上的一动点，直线与轴交于点.问： ⑴ 当点运动到何位置时，直线平分矩形的面积，请简要说明理由，并求出此时直线的函数解析式； ⑵ 当点沿直线移动时，是否存在使与相似的点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. ⑴ 连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积． 由已知可得此时点的坐标为． 设直线的函数解析式为． 则有 解得，． 所以，直线的函数解析式为：． ⑵ 存在点使得与相似． 不妨设直线与轴的正半轴交于点． 因为，若与相似，则有或． 当时，即，解得．所以点满足条件． 当时，即，解得．所以点满足条件． 由对称性知，点,． ∵过点、的直线与过点、的直线平行，∴舍去. 综上所述，满足使与相似的点有个，分别为、、． 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)． (1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝_____，PD＝_____． (2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明 理由．并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求 点Q的速度； (3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． (1) QB＝8－2t，PD＝ ． (2) 不存在． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝10． ∵ PD∥BC，∴ △APD∽△ACB， ∴ ＝，即：＝，∴ AD＝t， ∴ BD＝AB－AD＝10－t． ∵ BQ∥DP， ∴ 当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形， 即8－2t＝t，解得：t＝． 当t＝时，PD＝×＝，BD＝10－×＝6， ∴ DP≠BD，∴ □PDBQ不能为菱形． 设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ＝8－vt，PD＝t，BD＝10－t． 要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ， 当PD＝BD时，即t＝10－t，解得：t＝． 当PD＝BQ时，t＝时，即×＝8－v，解得：v＝． (3) 解法一：如图2，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为(3，0)； 当t＝4时，点M2的坐标为(1，4)． 设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b， ∴ ，解得：． ∴ 直线M1M2的解析式为y＝－2x＋6． ∵ 点Q(0，2t)，P(6－t，0)， ∴ 在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为(，t)． 把x＝，代入y＝－2x＋6，得y＝－2×＋6＝t． ∴ 点M3在直线M1M2上． 过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2． ∴ M1M2＝2． ∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度． 解法二：如图3，设E是AC的中点，连接ME． 当t＝4时，点Q与点B重合，运动停止． 设此时PQ的中点为F，连接EF． 过点M作MN⊥AC，垂足为N，则MN∥BC． ∴ △PMN∽△PDC． ∴ ＝＝，即：＝＝． ∴ MN＝t，PN＝3－t， ∴ CN＝PC－PN＝(6－t)－(3－t)＝3－t． ∴ EN＝CE－CN＝3－(3－t)＝ t． ∴ tan∠MEN＝＝2． ∵ tan∠MEN的值不变，∴ 点M在直线EF上． 过F作FH⊥AC，垂足为H．则EH＝2，FH＝4．∴ EF＝2． ∵ 当t＝0时，点M与点E重合；当t＝4时，点M与点F重合， ∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度． 动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征． 如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. ⑴ 求点到的距离； ⑵ 点为线段上的一个动点，过作交 ... ...
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