§3.3.2 几何概型的应用与均匀随机数的产生 学习目标 1.理解并掌握几何概型的概率公式和其应用解题的关键； 2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； 3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 重点难点 重点: 1.应用几何概型概率公式解决几何概型问题； 2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法 难点: 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 学法指导 通过例题和练习在应用中巩固几何概型概率公式解题的关键(即时刻明确构成事件A的基本要素是“点”，而试验的全部结果是一个几何图形)；通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法。 知识链接 几何概型的定义，以及相关的古典概型中的随机模拟方法. 问题探究 【提出问题】 1.随机试验的结果有无限多个，当再满足 时， 我们称这样的概率模型为几何概型. 2.几何概型中，事件A的概率计算公式为： P(A)=. 【巩固提高】 例1 如图1所示,平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行相碰的概率. 分析：硬币不与直线相碰，可以看作硬币的中心到直线的距离，这样就可以把问题转化为中心到较近的一条直线的距离满足的 概率问题。因为硬币是任意掷在平面上的，所以硬币中心到较近一条直线的距离在到之间是等可能的任意一个值，所以这符合几何概型的条件。 注：解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为硬币中心到直线的距离，从而转化为长度型的几何概率问题. 例2 在区间上随机取两个数，求关于的一元二次方程有实根的概率． 分析：题目中有两个随机变量，这时一般构造二维几何模型（即利用直角坐标系），将问题转化为面积型的几何概率问题求解． 注：要注意对“等可能”的理解． 【探究新知】 我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作. 一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为8点过X分种，则X可以是0～60之间的任何一刻，并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X为[0，60]上的均匀随机数. 思考1：一般地，X为[a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是离散的，还是连续的？ 我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器产生（见教材P137）. 思考2：如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？ 计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，那么就需要产生[a，b]上的均匀随机数. 思考3：请问你有什么好办法利用计算机来产生[2，6]上的均匀随机数？[a，b]上的均匀随机数又如何产生呢？（行胜于言，试一试吧！） 【理论迁移】 认真阅读思考教材例2的解析，尤其是方法二. 例3 在正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值. 提示：每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，那么落在每个区域的豆子数就与这个区域的面积成正比，这样出现了一个关键的等量关系. 例4 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积. 提示：面积比等于落在其中点的个数比. 例题要点： 1.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值. 2.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决. 【课堂小结】 1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间 ... ...
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