圆的方程 【考纲要求】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程， 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】 【考点梳理】 【圆的方程知识要点】 考点一：圆的标准方程 /，其中/为圆心，为半径. 要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是/. 有关图形特征与方程的转化： 圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：； 圆与x轴相切时：； 与坐标轴相切时：； 过原点：. (2)圆的标准方程/圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 考点三：圆的一般方程 当时，方程/叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 要点诠释：由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点/. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 考点四：几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 / 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 / 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 / / 与y轴相切 / 要点诠释： 圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程一般方程. 【典型例题】 类型一：圆的标准方程 例1.求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2)已知圆经过两点，圆心在轴上，则的方程是 ； (3)经过点，圆心在点 【思路点拨】 解析：(1) (2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为. (3)解法一：∵圆的半径，圆心在点 ∴圆的方程是 解法二：∵圆心在点，故设圆的方程为 又∵点在圆上，∴，∴ ∴所求圆的方程是. 总结升华：一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径. 举一反三： 【变式1】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 解析：依题意，设圆心坐标为，其中，则有，由此解得，因此所求圆的方程是，选A. 类型二：圆的一般方程 例2．(1)求经过点、,且圆心在直线上的圆的方程； (2)求以、、为顶点的三角形的外接圆的方程/ 【思路点拨】选用恰当的方程形式用待定系数法求出，或数形结合，利用圆的垂径定理：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形解决。 解析： (1)方法一：待定系数法 设圆心,则有, 解得，∴圆心，半径, ∴所求圆的方程为。 方法二：数形结合 / 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上即直线上 由得， ∴圆心，半径 ∴所求圆的方程为。 (2) 方法一：待定系数法 设圆的方程为, 将三个已知点的坐标代入列方程组解得：， 解方程组得：, , ， 故圆的方程为，即 方法二：数形结合 / 由图形知：三角形是以为斜边的直角三角形， 故圆心为的中点，直径， 故圆的方程为：。 总结升华：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： （1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程； （2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、； （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数/ 举一反三： 【变式1】求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。 【答案】：解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直 ... ...
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