椭圆 【考纲要求】 1.了解椭圆图形的实际背景及形成过程； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握椭圆的简单应用； 4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】 【考点梳理】 【椭圆及其性质知识要点】 考点一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 要点诠释： （1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形. （2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 考点二、椭圆的标准方程 （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 要点诠释： （1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，. 考点三、椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）范围：，， （2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是且； 椭圆的的简单几何性质 （1）范围：，， （2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是. 考点四、椭圆图像中线段的几何特征 椭圆的图像如图所示 / （1），，； （2），，； （3）,，； （4）中常利用余弦定理、三角形面积公式： ， 将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、的关系. 考点五、椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系 标准方程 图形 / / 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 准线方程* 焦半径* ， ， 要点诠释： 椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 【典型例题】 类型一：求椭圆的标准方程 例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。 【思路点拨】结合椭圆的标准方程，用待定系数法。 【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。 ∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4 ∴b2=a2－c2=52－42=9 ∴所求椭圆的标准方程为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为 由椭圆的定义知，， ∴ 又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6 ∴所求椭圆的标准方程为。 【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。 【举一反三】 【椭圆及其性质例2】 【变式1】如果方程表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数的取值范围。 【解析】把整理为标准方程： 因为焦点在Y轴上，所以 解得 【变式2】求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。 【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。 ∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2）， ∴ ∴ ∴所求椭圆方程为。 类型二：圆锥曲线的焦点三角形 例2．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积. 【思路点拨】如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之. 【解析】设,, 依题意有 (1)2-(2)得， 即. ∴. 【举一反三】 【变式1】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程； ② 设点P在椭圆上,且,求. 【答案】① . ②设 则 ， 又 . 类型三：椭圆中的几何性质 例3. 已知椭圆，F1，F2是 ... ...
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