二次函数 一.选择题 1.（2019?湖北省鄂州市?3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ） (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误； ②把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③由x＝1时对应的函数值＜0，可得出a+b+c＜0，得到a+c＜﹣b，由a＞0，c＞0，﹣b＞0，得到（ ）a+c）2﹣b2＜0，选项③正确； ④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确．[来*@源:中国教育出版%#网&] 【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0 ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0，[来源~:^zzstep.co#m%&] ∴abc＞0，①错误； ②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0， ∵，∴b＝﹣2a， 把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确； ③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，[来源:中#国&*教育出@版~网] ∴a+c＜﹣b， ∵a＞0，c＞0，﹣b＞0， ∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，[来~源:中国教育出^版&%网#] ∴a+b+c≤am2+mb+c， 即a+b≤m（am+b），所以④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 2.（2019?湖北省荆门市?3分）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4）， 当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）， 所以抛物线与坐标轴有2个交点．[来源:中%^国教育出~版网#&] 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 3.（2019?湖北省随州市?3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，[中国%^教*育@出~版网] ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确； ∵b=-2a，∴a+b=a-a=0， ∵c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误； ∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0）， 把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∴ac-b+1=0，所以③错误； ∵A（-c，0），对称轴为直线x=1，∴B（2+c，0）， ∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；故选：B． ①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛 ... ...
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