导数 第2关： 参数范围问题—常见解题6法

第2关： 参数范围问题—常见解题6法 求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法． 一、确定“主元”思想 常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量． 例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围． 分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题． 解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意． 由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0， 解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1． 二、分离变量 对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。 例2．若对于任意角总有成立，求的范围． 分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得， 又，则原不等式等价变形为恒成立． 根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为 即时，有最小值为0，故． 评析：一般地,分离变量后有下列几种情形： ①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k) ②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min ③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k) ④f(x)