第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式 A级 基础巩固 一、选择题 1．设a≥b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是( ) A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q 解析：因为a≥b＞0，所以a2≥b2＞0. 因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)， 则P≥Q. 答案：B 2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( ) A．420 元 B．400 元 C．450 元 D．570 元 解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小． 答案：A 3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( ) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 答案：C 4．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则＋＋的最小值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：设a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0， 由乱序和不小于反序和，知 ＋＋≥＋＋＝3， 所以＋＋的最小值为3. 答案：A 5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( ) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3， 根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和_____空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”或“＝”) 解析：阴影面积为a1b1＋a2b2，而空白面积为a1b2＋a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案． 答案：≥ 7．若c1，c2，c3是4，5，6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是_____，最小值是_____． 解析：由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. 答案：32 28 8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花_____元，最多要花_____元． 解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S1＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)． 顺序和S2＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)． 根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元． 答案：19 25 三、解答题 9．设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的最小值． 解：不妨设a3＞a1＞a2＞0，则＜＜， 所以a1a2＜a2a3＜a3a1. 设乱序和S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1， 顺序和S′＝＋＋. 由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1， 所以＋＋的最小值为1. 10．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 证明：因为0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数， 所以0cos β>cos γ>0. 所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． B级 能力提升 1．已知实数a≥b≥c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a＋b＋c的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D. 解析：因为a≥b≥c≥0，知≥≥， 由排序不等式，得 a＋b＋c≤a＋b＋c. 又(a＋b＋c)2≤[(a)2＋(b)2＋(c)2]·(1＋1＋1)＝3(a3＋b3＋c3)＝9， 所以a＋b＋c≤3. ... ...
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