13.4 课题学习 最短路径问题学案(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学八年级上册同步学案 第十三章　轴对称 13.4　课题学习　最短路径问题 要 点 讲 解 要点　最短路径问题 1. 最短路径问题 (1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置. 如图1所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小，这时点C是直线l与AB的交点.依据是两点之间线段最短. 　　 图1 图2 (2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置. 如图2所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C，使CA＋CB最小.这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点；或者先作点A关于直线l的对称点A′，则点C是直线l与A′B的交点，可以证明点C的位置符合要求. 证明：在直线l上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′. 由作图可知，点B和点B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与点C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋CB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋BC′. (3)求两相交线之间一点到两直线的距离 如图3，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋PN的长度之和最小.分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′P″与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋PN的最小值为P′P″的值. 图3 图4 (4)求两相交线之间两点到两直线的距离的和最小的问题 如图4，在直线l1，l2上分别求点M，N，使PM＋MN＋NQ＋PQ的长度之和最小.分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点即为点M，N.PM＋MN＋NQ＋PQ的最小值为P′Q′＋PQ的值. 经典例题1　如图所示，OX，OY是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两条公路边分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？请说明理由. 解：如图所示，分别作点A关于射线OX，OY的对称点A1，A2，连接A1A2交OX，OY于B，C两点，则B，C两点就是加油站的位置. 理由：设M，N(不同于为B，C)分别是射线OX，OY上的任意两点，连接A1M，MN，NA2，AB，AC，AM，AN. 因为点A，A1关于射线OX对称，所以A1B＝AB，A1M＝AM. 又因为点A，A2关于射线OY对称，所以AC＝A2C，AN＝A2N. 所以AB＋BC＋CA＝A1B＋BC＋CA2＝A1A2，AM＋MN＋AN＝A1M＋MN＋A2N. 由“两点之间，线段最短”，可知A1M＋MN＋A2N>A1A2，所以B，C两点为加油站的位置. 2. “造桥选址问题” 解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题. 图5 如图5，在互相平行的直线l1，l2上，找一条垂直于l1，l2的线段MN，使AM＋MN＋NB的长度之和最小. 过点A作AA′⊥l1且使AA′的长度等于两平行线间的距离，连接A′B，则A′B与l2的交点即为N点，作MN⊥l1于点M，则根据“两点之间线段最短”，可得AM＋MN＋NB的最小值为MN(两平行线间的距离)＋A′B. 经典例题2　如图(1)所示，某条护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须经过两座桥(桥宽不计，桥与河垂直)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A处到B处的路程最短，请确定两座桥的位置. 图(1) 图(2) 解：如图(2)所示，作法如下： (1)过点A作AF⊥CM，使AF等于河宽；过点B作BG⊥CN，使BG等于河宽. (2)连接GF，分别与河岸C′N′，C′M′相交于点E′，D′. (3)过点D′作D′D⊥CM于点D，过点E′作E′E⊥CN于点E，则D′D，E′E即为两座桥的位置. 当 堂 检 测 1. 如 ... ...