1.3.2 奇偶性 课标要点 课标要点 学考要求 高考要求 1.奇函数、偶函数的概念 b b 2.奇函数、偶函数的性质 c c 知识导图 学法指导 1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称． 2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系． 3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点. 知识点 奇、偶函数 1．偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 3．奇、偶函数的图象特征 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数的图象关于(0,0)对称．( ) (2)奇函数的图象关于y轴对称．( ) (3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( ) (4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数． 答案：C 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( ) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2. 答案：B 4．下列图象表示的函数是奇函数的是_____，是偶函数的是_____．(填序号) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：(2)(4) (1)(3) 类型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 【解析】 (1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝即f(－x)＝ 于是有f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数． 方法归纳 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中． 跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]． 即有－1≤x≤1且x≠0， 则－1≤－x≤1，且－x≠0， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f( ... ...
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