第四章 平面向量与复数 第1课时 平面向量的概念与线性运算 一、 填空题 1. 下列命题中正确的是_____．(填序号) ① 单位向量的模都相等； ② 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量； ③ 若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b； ④ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ⑤ 对任意非零向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 答案：①④⑤ 解析：单位向量的模均为1，故①正确；共线包括同向和反向，故②不正确；向量不能比较大小，故③不正确；根据向量的表示，知④正确；由向量加法的三角形法则知⑤正确． 2. 若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝_____． 答案：2 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 3. 已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.若A，B，D三点共线，则k＝_____. 答案：－8 解析：若A，B，D三点共线，则∥，设＝λ.因为＝－＝e1－4e2，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，所以λ＝2，k＝－4λ，所以k＝－8. 4. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，设＝a，＝b，E为BC的中点，则＝_____．(用a，b表示) 答案：a＋b 解析：＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 5. 如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝_____． 答案： 解析：由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝. 6. (2019·泰州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝_____． 答案：－3 解析：由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，则λ＝－3. 7. 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为_____． 答案： 解析：由|a＋b|＝|a－b|可知a⊥b.设＝b，＝a，作矩形ABCD，可知＝a＋b，＝a－b.设AC与BD的交点为O，结合题意可知OA＝OD＝AD，∴ ∠AOD＝，∴ ∠DOC＝.又向量a＋b与a－b的夹角为与的夹角，故所求夹角为. 8. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，且＝＋λ，则实数λ＝_____． 答案： 解析：如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F， 则＝＋. 因为＝＋λ，所以＝，＝λ.由△ADE∽△ABC，得＝＝， 所以＝＝，故λ＝. 9. 在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝_____．(用a，b表示) 答案：a＋b 解析：如图，∵ △DEF∽△BEA，∴ DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴ FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴ ＝b.∵ ＝＋＝＝a，∴ ＝＋＝a＋b. 10. 向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：① A，B，C共线；② A，B，D共线；③ B，C，D共线；④ A，C，D共线．其中所有正确的结论是_____．(填序号) 答案：④ 解析：由＝－＝4e1＋2e2＝2，e1＋e2不共线，得与不共线，A，C，D共线，且B不在此直线上． 11. 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____．(选填“外心”“内心”“重心”或“垂心”) 答案：内心 解析：作∠BAC的平分线AD.∵ ＝＋λ，∴ ＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴ ＝·， ∴ ∥.∴ P的轨迹一定通过△ABC的内心． 二、 解答题 12. 如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线MN与边AB，AC分别交于M，N两点，且＝x，＝y，求x＋y的最小值． 解：由点G是△ABC的重心，知＋＋＝0，得－＋(－)＋(－)＝0，则＝(＋)．又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ(且λ＋μ＝1)，则＝λx＋μy＝(＋)， 所以于是得＋＝3. 又由题意x＞0，y＞0，所以x＋y＝(x＋y)＝≥(当且仅当＝，即x＝y时，等号成立)，即x＋y的最小值为. 13. 如图，已知△OCB中，点C是点B关于点A的对称点，D是将分为2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b. (1) 用a和b表示向量，； (2) 若＝ ... ...
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