吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测(一)数学（文）试题（扫描版，含答案）

长春市2020届高三质量监测（一） 数学（文科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. C 2. B 3. B 4. B 5. D 6. C 7. C 8. D 9. A 10. A 11. C 12. D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题 (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查数列的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）证明：当时， ，所以是以为首项，为公差的等差数列. （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以， 所以. （12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查概率与统计的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示： 由图可知，中位数在区间. （6分） （Ⅱ）由题意，设从中选取的车辆为，从中选取的车辆为，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为，其中符合条件的有6种，，所以所求事件的概率为. （12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本题考查立体几何的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）证明：在内取一点，作， 因为平面平面，其交线为，所以平面，， 同理，所以平面，， 同理，故两两垂直. （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥的高为， ，所以三棱锥的体积为. （12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，. 因此椭圆的方程为. （4分） （Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点， ，联立直线与椭圆的方程消去可得 ，即，. 面积可表示为 令，则，上式可化为， 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最大值为，此时直线的方程为. （12分） (本小题满分12分) 【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）令，（2分） + 极小值 ，无极大值； （4分） （II）由题意可知，，则原不等式等价于， 令，， ①当时，，，在上单调递减， ，成立； ②当时，，使得当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，，不成立；综上所述，. （12分） (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线的普通方程为， 圆的直角坐标方程为. （5分） （Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得 ，化简可得. 则. （10分） (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 当时，，可得，即. 当时，，可得，即. 当时，，可得，即. 综上，不等式的解集为. （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的最大值，且， 即，当且仅当时“=”成立， 可得，即，因此的最小值为2. （10分） ... ...