课时分层作业(二十一) 函数的平均变化率 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 B [∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.] 2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( ) A．0 B．1 C．3 D．Δx A [＝＝0.] 3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( ) A．6＋Δt B．12＋Δt＋ C．12＋2Δt D．12 C [＝＝12＋2Δt.] 4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 C [根据平均变化率的定义，可知 ＝＝a＝3，故选C.] 5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则( ) A．f(x)在这个区间上为增函数 B．f(x)在这个区间上为减函数 C．f(x)在这个区间上的增减性不确定 D．f(x)在这个区间上为常数函数 A [①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.] 二、填空题 6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为_____． 3－Δx [＝ ＝3－Δx.] 7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为_____． ＜＜ [＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC， ∴＜＜.] 8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为_____，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为_____． 6x0＋3Δx 12.3 [函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.] 三、解答题 9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性． [解] 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝， ＝＝－. ∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0， ∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数． 10．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． [解] (1)函数f(x)在[3,5]上是增函数． 证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝， 所以＝＝. 因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以＝＞0， 所以f(x)＝在[3,5]上是增函数． (2)f(x)min＝f(3)＝＝， f(x)max＝f(5)＝＝. [等级过关练] 1．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝( ) A．3 B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3 D [∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2， ∴＝＝－3－Δx， 故选D.] 2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( ) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定 D [k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．] 3．已知曲线y＝－1上两点A，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为_____． － [∵Δy＝－ ＝－＝＝， ∴＝＝， 即k＝＝－. ∴当Δx＝1时，k＝－＝－.] 4．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为_____． [由函数f(x)的图像知， f(x)＝ 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.] 5．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任 ... ...
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