57、等积规律 【三角形等积的基本规律】如果两个三角形的底相等，高也相等，那么，这两个三角形的面积相等。 例如，在图1.32中，D是BC的中点（即BD=DC），则△ABD与△ACD的面积相等。（等底同高） 【三角形等积规律推论】由三角形等积这一基本规律，可以推出下面几个结论。 结论1 如果两个三角形有公共的底边，且这底边所对的顶点所在直线，与这底边平行，则这两个三角形面积相等。 例如，在图1.33中， A1A2的连线与BC平行，则△A1BC与△A2BC的面积相等。 结论2 在两个三角形中，若相等的底在同一直线上，底所对的顶点在与底平行的另一同一直线上，则这两个三角形的面积相等。 例如图1.34中的△A1B1C1与△A2B2C2，它们的底B1C1=B2C2，并且底同在直线B1C2上，顶点A1、A2的连线A1A2，与B1C2平行，那么△A1B1C1与△A2B2C2的面积便是相等的。 结论3 如果一个三角形的一边被分成了n等分，并把这些等分点与顶点连结，那么这个三角形就被分成了n+1个等积的三角形。 例如图1.35中，BC被点D1、D2、D3、D4、D5分成了六等分，则△ABC的面积也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分 成了六等分。即△ABD1、△AD1D2、△AD2D3、△AD3D4、△AD4D5、△ 结论4 如果两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例如，在图1.36中，△ABC的高AD，和△A払扖挼母逜扗捪嗟龋珺C=3B扖挘?敲础鰽BC的面积，便是△A払扖挼拿婊?—3倍。 58、等分图形 【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。 例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。 由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。等分后的情况见图4.13和图4.14。 积是 图4.12的正方形面积是 【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。 例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？ 大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积，即等于△ABC的面积。所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。 59、抽屉原理问题 例1 袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出_____粒珠子，才能保证达到目的。 （1992年福州市小学数学竞赛试题） 讲析：从最好的情况着手，则摸5粒刚好是同色的，但是不能保证做到。要保证5粒同色，必然从最坏情况着手。 最坏情况是摸了16粒，这16粒珠子中没有一种是5粒同色，也就是说有4粒红色、4粒黄色、4粒黑色和4粒白色的。现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一。 所以，至少要摸17粒。 例2 在一个3×9的方格里，将每一格随意涂上黑色或白色，试说明不管怎样涂，至少有两列的着色是完全相同的。 （“新苗杯”小学数学邀请赛试题） 讲析：可用两种颜色涂每一列的三格 ... ...
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