命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、定义与命题 1．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （1）在同一个三角形中，等角对等边； （2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似. 【答案与解析】 解：（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等.它是真命题. （2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等. 条件：两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.它是真命题. （3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似. 条件：两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论： ... ...
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