北师大版九年级数学上册第7讲 一元二次方程的解法（二）—公式法，因式分解法(提高)（知识讲解+巩固练习）

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 　　　一元二次方程/，当/时，/.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：/．　　　 ①当/时，原方程有两个不等的实数根/；　　　 ②当/时，原方程有两个相等的实数根/；　　　 ③当/时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　 用公式法解关于x的一元二次方程/的步骤：　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；　　　 ③求出/的值；　　　 ④若/，则利用公式/求出原方程的解；　　　 　若/，则原方程无实根.要点诠释： （1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用. （2）一元二次方程/，用配方法将其变形为：/ ①当/时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：/ ② 当/时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：/ ③ 当/时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤　　（1）将方程右边化为0；　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】 类型一、公式法解一元二次方程 /1．解关于x的方程/． 【答案与解析】 (1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为/． ∵ m≠0，解得x＝1． (2)当m+n≠0时， ∵ /，/，/， ∴ /， ∴ /， ∴ /，/． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论． 举一反三： 【变式】解关于/的方程/； 【答案】原方程可化为/ ∵/ ∴ / ∴ / ∴ / /2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m； 【答案与解析】 方程整理为/， ∴ /，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13， ∴ /， ∴ //， ∴ /，/． 【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解. 举一反三： 【变式】用公式法解下列方程： / 【答案】∵/ ∴/ ∴/ ∴/ 类型二、因式分解法解一元二次方程 /3．（2019?荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【答案】D 【解析】 解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0， 解得m=6， 则原方程为x2﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11； ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC的周长为10或 ... ...