4.3 对数 4.3.1 对数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点) 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法. 借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养. 1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 2．常用对数与自然对数 3．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( ) A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.] 2．若log3x＝3，则x＝( ) A．1 B．3 C．9 D．27 D [∵log3x＝3，∴x＝33＝27.] 3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( ) A．a>5或a<0 B．0
0，且a≠1，N>0?的值的步骤 ?1?设logaN＝m； ?2?将logaN＝m写成指数式am＝N； ?3?将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 2．计算：(1)log9 27；(2)log 81；(3)log625. [解] (1)设x＝log9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝. (2)设x＝log81，则()x＝81,3＝34，∴x＝16. (3)令x＝log625，∴()x＝625,5＝54，∴x＝3. 应用对数的基本性质求值 [探究问题] 1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？ 提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N. 2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1) 提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a. 【例3】 设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于( ) A．10 B．13 C．100 D．±100 (2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于_____． [思路点拨] (1)利用对数恒等式alogaN＝N求解； (2)利用logaa＝1，loga1＝0求解． (1)B (2)10 [(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B. (2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.] 1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为_____． 3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.] 2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－的值． [解] ∵x＝10，∴x－＝10－＝. 1．利用对数性 ... ... 