人教B版数学选修2-1（课件54+教案+练习）3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点) 2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点) 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点) 1.通过本节知识的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升学生逻辑推理、数学运算素养. 1．平面的法向量及其应用 (1)平面的法向量：如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交． (2)平面的向量表示式：设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，用·n＝0表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式． (3)两个平面平行或垂直的判断：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合?n1∥n2；α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0. 思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？ [提示]　平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的． 2．三垂线定理及其逆定理： (1)射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影． ②图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影． (2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 1．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　) A．－2　　　B．－　　　C.　　　D．± D　[线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.] 2．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 C　[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4.] 3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为 (　　) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) C　[显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．] 求平面的法向量 【例1】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． [解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1,0,0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 利用待定系数法求法向量的解题步骤 1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量． [解]　因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形， 所以CF⊥AB. 以F为坐标原点， 建立空间直角坐标系(如图所示)． 由题意得F(0,0,0)，P，D，C，E. 所以＝，＝. 设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)． 则即 所以令y＝2， 则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2). 利用法向量证 ... ...