（新课标）北师大版数学必修4（课件47+教案+练习）第1章 §9 三角函数的简单应用

§9　三角函数的简单应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点) 2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1.通过用三角函数研究简单的实际问题，培养数学抽象素养． 2．通过将实际问题抽象为三角函数模型，提升数学建模素养. 三角函数模型的应用 (1)三角函数模型的应用 ①根据实际问题的图像求出函数解析式． ②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． ③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型． (2)解答三角函数应用题的一般步骤 思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？ [提示]　A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下： (1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b； (2)A＝，b＝. 1．如图为某简谐运动的图像，这个简谐运动往返一次所需时间为(　　) A．0.4 s　 B．0.6 s C．0.8 s D．1.2 s C　[由图像知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．] 2．求下列函数的周期： (1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝_____； (2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝_____； (3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝_____； [答案]　(1)　(2)　(3) 3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为_____． 80　[∵T＝＝，∴f＝＝80.] 4．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是_____． y＝2sin　[不妨设所求解析式为y＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝2，＝0.8，ω＝， 由于图像过点(0，)， 所以2sin φ＝， 结合图像可取φ＝， 故y＝2sin.] 已知解析式求周期、最值 【例1】　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220·sin来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． [解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)． 即开始时的电压为110V. (2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220  V. 当100πt＋＝， 即t＝ s时第一次取得最大值． 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键. 1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin. (1)作出它的图像； (2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ [解]　(1)单摆的周期T＝＝1，若令2πt＋＝0，即t＝－，这时s＝0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下： t －     s＝6sin 0 6 0 －6 0 用光滑的曲线连接这些点，得函数 s＝6sin的图像(如图)． (2)当t＝0时，s＝6sin ＝6×＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm. (3)s＝6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (4)s＝6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 已知模型求解析式 【例2】　如图所示，表示电流I(A)与时间t(s)的关系式：I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像． 根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式． [解]　由图像可知A＝300，又T＝2＝，∴ω＝＝100π. 又∵t＝－时，ωt＋φ＝0， ∴100π·＋φ＝0，即φ＝， ∴I＝300sin. 求解析式的难点在于求φ，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得. 2．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)． (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． [解]　(1)由题图知，这段时间的最大温差是30－10＝20 ( ... ...