第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 3.2 一元二次不等式及其解法(第1课时) 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式的方法. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:观察不等式x2-4x<0和-x2+x+2>0,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一般形式是什么? 问题2:请尝试求解不等式x2-4x<0. 问题3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?哪种方法更简洁、直观?请同学们用这种方法求不等式-x2+x+2>0的解集. 问题4:用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集,主要关注相应二次函数图象的什么特征? 问题5:上面的方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)解集吗?相应的二次函数图象与x轴的交点情形确定吗?由谁决定?怎么处理?(分类讨论)请大家探究. 根据探究的情形,完成下表: Δ 三个“二次” Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 续表 Δ 三个“二次” Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 问题6:当二次项系数a<0时,怎样处理呢?请大家思考解一元二次不等式的一般步骤,并完成下面的程序框图. / 二、运用规律,解决问题 【例题】解下列不等式: (1)4x2-4x+1>0; (2)-x2+2x-3>0. 三、变式训练,深化提高 变式训练1:解下列不等式: (1)-x2+2x+8≥0; (2)x2-6x+9≤0. 变式训练2:请同学们自己编两道解一元二次不等式的题目,并由同位给出解答,交流解答结果. 四、反思小结,观点提炼 问题7:本节课我们主要用什么思想方法推导了一元二次不等式的解法?这种思想对一般的不等式f(x)>0可以求解吗?具体步骤是什么?类似的你能用这种方法求不等式f(x)>k的解集吗? 参考答案/ 一、设计问题,创设情境 问题1:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2;一元二次不等式;ax2+bx+c>0(<0)(a≠0). 问题2:(数形结合)设f(x)=x2-4x,画出其图象. / 容易知道方程x2-4x=0的根x1=0,x2=4,就是函数f(x)=x2-4x的零点,也就是函数f(x)=x2-4x的图象与x轴交点的横坐标. 而不等式x2-4x<0的解集,即f(x)<0的解集,也就是函数f(x)=x2-4x图象在x轴下方的部分对应的横坐标的取值集合为{x|00 或 ??>0, ??-4<0. 解得{x|00 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 / / / 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两相异实根 x1,x2(x10(a>0) 的解集 {x|xx2} x x≠- b 2a R ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 {x|x10,方程x2-2x-8=0的解为x1=-2,x2=4,而函数y=x2-2x-8的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤4}. (2)注意到x2-6x+9=(x-3)2≥0, 所以,原不等式的解集为{x|x=3}. 四、反思小结,观点提炼 问题7:函数与方程思想;可以;画出函数y=f(x)的图象,求出函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,即方程f(x)=0的根,然后根据函数y=f(x)的图象与x轴的位置关系,即可得出相应不等式的解;只需将x轴,换做直线y=k即可. ... ...
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