数学高中人教A版必修4学案：2.2.3向量数乘运算及其几何意义

第二章　平面向量 2.2　平面向量的线性运算 2.2.3　向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题. 2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线. 3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:向量加法的运算法则? 问题2:向量减法的几何意义? 问题3:一质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用　　　　来表示.这是何种运算的结果?? 二、学生探索,尝试解决 问题1:向量的加法: 问题2:向量的减法: 问题3:3a. 三、信息交流,揭示规律 问题4:已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗? (1)相加后,和的长度和方向有什么变化? (2)这些变化与哪些因素有关? 1.数乘的定义:　.? (1)　;? (2)当λ>0时,　;? 当λ<0时,　.? 由(1)可知,当λ=0或a=0时,　.? 问题5:求作向量3(2a)和6a(a为非零向量),并进行比较. 问题6:已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并进行比较. 2.向量数乘的运算律 设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: 结合律:　.? 第一分配律:　.? 第二分配律:　.? 问题7:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗? 问题8:如果b=λa(a≠0),那么,向量a与b是否共线? 问题9:b与非零向量a共线,那么,b=λa? 3.向量共线定理 四、运用规律,解决问题 【例1】计算 (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 【例2】已知任意两非零向量a,b,试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗?为什么? 五、变式演练,深化提高 练习1:若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R,若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在一条直线上? 练习2:设a,b是不共线的两个非零向量, (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线; (2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值. 让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可转为课后作业) 六、反思小结,观点提炼 请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?(经过学生短暂梳理,小组发言) 布置作业 课本P90练习第3,4,5,6题. 参考答案 二、学生探索,尝试解决 问题1:三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点). 问题2:OA=a,OB=b,则BA=a-b. 问题3:a+a+a. 三、信息交流,揭示规律 问题4: 3a与a方向相同且3a=3a; -2a与a方向相反且-2a=2a. 1.数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度和方向规定如下: (1)λa=λa; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反. 由(1)可知,当λ=0或a=0时,λa=0. 问题5: 问题6: 2.结合律:λ(μa)=(λμ)a 第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa 第二分配律:λ(a+b)=λa+λb 问题7:数乘向量与原向量共线. 问题8:共线. 问题9:不成立. 3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. 四、运用规律,解决问题 【例1】解:(1)原式=-12a. (2)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b. (3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+1)c=-a+5b-2c. 【例2】解:作图如下(过程略) 依图观察,知A,B,C三点共线. 证明如下: ∵AC=OC?OA=(a+3b)-(a+b)=2b, 又AB=OB?OA=(a+2b)-(a+b)=b, ∴AC=2AB,又AB与AC有公共点A, ∴A,B,C三点共线. 五、变式演 ... ...