绝对值中的分类讨论思想 【链接方法】 1.若（＞），则. 2.若＞，则；若＜，则. 3．灵活运用绝对值基本性质: ①④；⑤≤. 4.绝对值的非负性的应用： ①若，则；②，则. 【挑战例题】 【例1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为8，求这两个数. 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 解：设甲数为x，乙数为y由题意得：， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 【例2】(山东省竞赛题)如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为( )． A．0 B． 1或一l C．2或一2 D．0或一2 因为a+b+c=0，所以a、b、c、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。 当两个正数一个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1， 所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0 当一个正数两个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=-1，abc/|abc|=1， 所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=2 【例3】(1)(北京市“迎春杯”竞赛题)已知，且， 那么＝ ． 因为a>b>c， a最大为1， 所以b只能是-2， c-2所以a=1或-1 b=-2 c=-3所以a+b+c=-6或-4. (2)(“希望杯”邀请赛试题)已知是有理数，， 且，那么 ． ｜a-b｜≤9，｜c-d｜≤16, 且 25 = |a-b-c+d| = |(a-b) + (d-c)| ≤ |a-b| + |d-c| ≤ 9 + 16 显然，上式中只能“=”成立 可见 a-b 与 d-c 同号，且 |a-b| = 9，|d-c| = 16 于是 |b-a| - |d-c| = 9 - 16 = -7 【例4】(“五羊杯”竞赛题)已知互为相反数，试求代数式：的值． 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出的值． 根据已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，可得b=1，a=2 把a，b的值代入原式 =1/2+1/（2×3）+1/（3×4）+…+1/（2013×2014） =1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2013-1/2014 =1-1/2014 =2013/2014 【例5】有3个的值使等式成立，则的值为 . 解：①若|x-2|-1=a， 当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1； 当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1； ②若|x-2|-1=-a， 当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1； 当x＜2时，2-x-1=-a，解得：x=a+1，a＜1； 又∵方程有三个整数解， ∴可得：a=-1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0． 即a只能取1．故答案为1． 变式：关于x的方程||x+3|-1|=a有三个解，则a的值为 1 解：①若|x+3|-1=a， 当x≥-3时，x+3-1=a，解得：x=a-2，a≥-1； 当x＜-3时，-x-3-1=a，解得：x=-a-4；a＞-1； ②若|x+3|-1=-a， 当x≥-3时，x+3-1=-a，解得：x=-a-2，a≤1； 当x＜-3时，-x-3-1=-a，解得：x=a-4，a＜1； 又∵方程有三个解， ∴可得：a=-1或1，而根据绝对值的非负性可得a≥0， 故答案为：1． 【提升能力】 1.=3，=2，且x>y，则x+y的值为（ ） A、5 B、1 C、5或1 D、—5或—1 解：∵|x|=3，|y|=2， ∴x=±3，y=±2， 又∵x＞y， ∴x=3，y=±2， ∴x+y=5或x+y=1， 故答案为D． 2.若，则必有（ D ） A、a>0,b<0 B、a<0,b<0 C、ab>0 D、 3．设，，则的值是（ ）． A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1 原式= -a/|a| - b/|b| - c/|c| = -（a/|a|+ b/|b| + c/|c|） 因为a+b+c=0,abc＞0 所以a、 b、 c中一定有两个是负数，一个是正数。 所以 a/|a|、 b/|b|、 c/|c| ... ...
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