四年级数学奥数思维训练导学案：第1讲：数列求和导学案 通用版（含答案）

数列求和 学习目标 1.学会凑整配对，推导公式，换元化简三种思维方法. 2.锻炼和提升孩子的数学归纳和转化思想. 3.会观察数列规律，能快速巧算数列之和，能记住数列求和公式，获得熟练运用化繁为简规律的成就感. 重点：会观察数列规律，能快速巧算数列之和，能记住数列求和公式。 难点：会观察数列规律，能快速巧算数列之和，能记住数列求和公式。 探究案 一、题型、技巧归纳 题型一：山顶数列和 1+2+3+…+97+98+99+98+97+…+3+2+1=？ 点播： 1.首尾配对发 （1）观察左边1~98，右边98~1，是两个对称的等差数列。 （2）用首尾配对法，得到1+98=99,2+97=99，……共有49个99，加上中间数99，共有99个99. 解析： 2.公式求和法 高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 解析： 巧找规律法： 1+2+3+2+1=9=3×3 1+2+3+4+3+2+1=16=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=（）=（）×（） 1+2+3+…+n+…+3+2+1= ?? 2 =n×n（n为山顶数） 左边数列如“上山”、“下山”排列，最大数如：“山顶”，取名山顶数列。 和=山顶数×山顶数 解： 题型二：去括号重组 （1+3+5+…+1989）-（2+4+6+…+1988）= 解析：原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988 =1+（3-2）+（5-4）+…+（1989-1988） =1+1×1988÷2 =1+994 =995 点播：去括号重组法：两两配好994对 题型三：等比数列和 1.1+2+4+8+16+32+64+128+256= . 解析：原式=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256-1 =2+2+4+8+16+32+64+128+256-1 =4+4+8+16+32+64+128+256-1 =256×2-1 =512-1 =511 点播：加倍数列和有借有还法（借1减1） 2.1+3+9+27+81+243+729+2187= . 解析： 设原式1+3+9+27+81+243+729+2187=S ① ①3得3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561 ② 把②-①得2S=6561-1 则S=（6561-1）÷2=3280 点播：多倍数列和错位相减法（扩倍相减） 题型四：特殊数列和 1. 1+3+5=9=3×3 1+3+5+7=16=4×4 1+3+5+7+9=（）=（）×（） 1+3+5+…+（2n-1）= ?? 2 =n×n（n为奇数个数） 点播：连续奇数数列：求和= ?? 2 2. 2+4+6=12= 3 2 +3 2+4+6+8=20= 4 2 +4 2+4+6+8+10=30= 5 2 +5 2+4+6+…+2n= ?? 2 +n（n为偶数个数） 点播：连续偶数数列：求和= ?? 2 +n 二、本节总结 熟练掌握化繁为简的规律 1.“山顶数列”求和，和= ?? 2 高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 2.去括号重组法：两两配好994对 3.多倍数列和错位相减法（扩倍相减） 4.连续奇数数列：求和= ?? 2 5.连续偶数数列：求和= ?? 2 +n 随堂检测 1. 计算 1+11+21+…+391+401 1+2+3+4+…+199+200 2. 合理分组能简算 1-2+3-4+5-…-98+99 （1+2+3+4+…+999+1000）-（2+4+6+…+996+998） 3. 用“山顶数列”求和进行计算 2+3+4+…+109+110+109+…+4+3+2+1=（） 4. 求1~100中所有偶数的和 5. 求1~100中所有奇数的和 参考答案 随堂检测 1.8241 2010 2.50 251000 3.12099 4.2550 5.2500