第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)． 知识点一 半角公式 1．用cos α表示sin2 ，cos2 ，tan2 . sin2＝；cos2 ＝； tan2 ＝. 2．用cos α表示sin ，cos ，tan . sin ＝± ；cos ＝± ； tan ＝± . 3．用sin α，cos α表示tan . tan ＝＝. ?易误提醒 应用“sin＝± ”或“cos＝± ”求值时，可由所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定． ?必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2α sin 2α＝2sin αcos α＝＝；cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝. [自测练习] 1．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin＝( ) A. B．－ C. D．－ 知识点二 辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). ?易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a，b)所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角． [自测练习] 2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) A．π B. C．2π D. 3．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( ) A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D. 考点一 三角函数式的化简| 化简： (1)sin 50°(1＋tan 10°)； (2). 考点二 辅助角公式的应用| (1)函数y＝sin 2x＋2 sin2x的最小正周期T为_____． (2)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝_____. (1)利用asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等． (2)化asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)时φ的求法：①tan φ＝；②φ所在象限由(a，b)点确定． 已知函数f(x)＝2sin xsin. 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间． 考点三 三角恒等变换的综合应用| 三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有： 1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合． 3．三角恒等变换与向量的综合． 探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合 1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； (2)若f＝， 求cos的值． 探究二 三角恒等变换与三角形的结合 2．(2019·台州模拟)已知实数x0，x0＋是函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(ω>0)的相邻的两个零点． (1)求ω的值； (2)设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若f(A)＝且＋＝，试判断△ABC的形状，并说明理由． 探究三 三角恒等变换与向量的综合 3．(2019·合肥模拟)已知向量a＝，b＝(3,0)，其中θ∈，若a·b＝1. (1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值． 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板 【典例】 (12分)(2019·高考山东模拟)设f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值． [思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f(x)的单调区间． (2)首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最大值． [模板形成] [跟踪练 ... ...
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