人教版高中数学选修2-2知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 复数代数形式的四则运算

3.2 复数代数形式的四则运算 知识 1．复数的加法法则 设，是任意两个复数，其中， 那么_____，即实部与实部相加，虚部与虚部相加， 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数． 2．复数加法的运算律 对任意，，，有 （1）交换律：_____； （2）结合律：． 注意：①复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，各复数的实部分别相加，虚部分别相加；②实数加法的运算性质对复数加法仍然成． 3．复数加法的几何意义 在复平面内，设，对应的向量分别为，，即，的坐标形式为，，如图，以，为邻边作平行四边形， 则由平面向量的坐标运算，可得， 即，即对角线OZ对应的向量就是与复数对应的向量． 这说明两个向量与的和就是与复数_____对应的向量． 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． 4．复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作． 根据复数相等的定义，有，，所以，， 即，所以_____． 这就是复数的减法法则．由此可见，两个复数的差是一个确定的复数． 注意：（1）两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如；（2）在确定两个复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定；（3）把复数的代数形式看成关于“”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就可以了；（4）设复数，在复平面内对应的两点的距离为，则由复数的几何意义，可得复平面内两点间的距离公式． 5．复数减法的几何意义 在复平面内，设，对应的向量分别为，， 那么这两个复数的差对应的向量是，即． 如图，如果作，那么点对应的复数就是． 这说明两个向量与的差_____就是与复数对应的向量． 因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数加法的几何意义． 6．复数的乘法法则 设，是任意两个复数， 那么它们的积． 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成_____，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数． 7．复数乘法的运算律 对任意，，，有 （1）交换律：； （2）结合律：； （3）分配律：_____． 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立．即对于任意复数，，和正整数，， 有，，． 注意：虚数单位具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）； （2）． 8．共轭复数 （1）共轭复数的定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_____． 虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 用表示的共轭复数，若，则．特别地，实数的共轭复数仍是本身． （2）共轭复数的几何意义 互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称，如下图所示： 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． （3）共轭复数的性质 若，它的共轭复数，则． 注意：①实数的共轭复数是它本身，即，利用这个性质可证明一个复数为实数；②若且，则为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数． 9．复数代数形式的除法运算 （1）复数的除法定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算．即把满足的复数叫做复数除以复数的商，记作或． （2）复数除法的法则 ． 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数． 在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”． （3）复数和、差、 ... ...